Tengo algunas dificultades con la siguiente pregunta.
Sea $S$ un subconjunto denso en $\mathbb{R}^n$. ¿Podemos encontrar una recta $L\subset\mathbb{R}^n$ tal que $S\cap L$ sea un subconjunto denso de $L$?
Nota. A partir del contraejemplo de Brian M. Scott, me gustaría preguntar más. ¿Si suponemos que $S$ tiene medida completa, podríamos encontrar una recta $L$ tal que $S\cap L$ sea un subconjunto denso de $L$?
Para cada $n>1$ es posible construir un subconjunto denso $D$ de $\Bbb R^n$ tal que cada línea recta en $\Bbb R^n$ intersecta a $D$ en a lo sumo dos puntos.
Sea $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\omega\}$ una base numerable para $\Bbb R^n$. Construir un conjunto $D=\{x_n:n\in\omega\}\subseteq\Bbb R^n$ recursivamente de la siguiente manera. Dado $n\in\omega$ y los puntos $x_k$ para $k
Claramente $D$, construido de esta manera, es denso en $\Bbb R^n$, ya que se encuentra con cada miembro de la base $\mathscr{B}$, y por construcción, ningún tres puntos de $D$ son colineales.
La pregunta da un conjunto $S$ como si fuera arbitrario, luego intentas encontrar la línea $L$. No está pidiendo construir el conjunto denso, está pidiendo encontrar una línea específica para un conjunto denso dado.
@Integral: La idea es que si puedes construir un conjunto denso que no tenga intersección densa con ninguna recta, entonces la respuesta a la pregunta es no: dado un subconjunto denso arbitrario de $\Bbb R^n$ para $n>1$, no es necesariamente posible encontrar una línea $L$ de tal manera. Así, esta construcción sí responde a la pregunta.
Ok, estoy de acuerdo. ¿Pero al construir un conjunto $D$ como lo hiciste, pruebas que es imposible construir otro conjunto denso que no tenga intersección densa con ninguna recta?
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Elige, por ejemplo $S = \mathbb{Q}\times\mathbb{R}$. Entonces, $S$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}^2$. Por otro lado, para la recta $L = \{\pi\}\times\mathbb{R}$, tenemos que $S\cap L = \emptyset$.
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@LordSoth Pero eso no responde la pregunta.
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@HaraldHanche-Olsen Lo siento, leí la pregunta como "si podemos hacer esto para cualquier subconjunto denso de $\mathbb{R}^n$". Supongo que el OP pregunta si podemos construir un $S$ de manera que podamos encontrar un $L$ con esa propiedad.
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@LordSoth: La pregunta es si todo subconjunto denso de $\Bbb R^n$ tiene intersección densa con alguna línea recta en $\Bbb R^n; la respuesta es no.
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@BrianM.Scott Oh well, gracias. Necesito descansar...