Si $9\sin\theta+40\cos\theta=41$ entonces demuestre que $41\cos\theta=40$ .

Question

Lo intenté de esta manera:

$$ 40\cos+9\sin=41 $$

$$ 9\sin=41-40\cos\theta $$

Cuadrando ambos lados:

$$81\sin^2\theta=1681+1600\cos^2\theta-2\cdot 40\cdot 41 \cos\theta$$

$$81-81 \cos^2\theta= 1681+1600\cos^2\theta-3280 \cos\theta$$

$$1681\cos^2\theta-3280\cos\theta+1600=0$$

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene $\cos\theta=\dfrac{40}{41}$ . No es fácil resolver la ecuación cuadrática sin calculadora por lo que debe haber algún otro método, si es así, por favor explique.

P.D: He encontrado el otro método, así que me autocontesto a la pregunta.

Answer 1

Por lo general, debe evitarse la cuadratura, ya que introduce inmediatamente una raíz extraña.

Escriba a $9=r\sin y,40=r\cos y$ donde $r>0$

Elevando al cuadrado y sumando obtenemos, $r^2=41^2\implies r=41$

Así, tenemos $r\cos(\theta-y)=41\iff\cos(\theta-y)=1=\cos0\implies\theta-y=2m\pi$ donde $m$ es cualquier número entero

Así que.., $\cos\theta=\cos(y+2m\pi)=\cos y=\dfrac{40}r $

Answer 2

Utilizando Identidad Brahmagupta-Fibonacci ,

$$(9\sin\theta+40\cos\theta)^2+(40\sin\theta-9\cos\theta)^2=(40^2+9^2)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=41^2$$ como $41^2=40^2+9^2$

Así que.., $40\sin\theta-9\cos\theta=0$ y $9\sin\theta+40\cos\theta=41$

¿Puede resolver $\cos\theta$

Answer 3

Fíjate en el trabajo que ya has hecho. Sabe que $1681=41^2$ que $3280=2\cdot 40\cdot 41$ y que $1600=40^2$ . Lo descubriste cuando elevaste al cuadrado $41-40\cos\theta$ . Ahora debería ser bastante fácil resolver la cuadrática $$1681\cos^2\theta3280\cos\theta+1600=0$$ $$41^2\cos^2\theta2(41)(40)\cos\theta40^2=0$$ $$(41\cos\theta-40)^2=0$$ $$\dots$$

Si prefieres utilizar la fórmula cuadrática, recuerda factorizar antes de evaluar la raíz cuadrada.

$$\begin{array}{lll} \cos\theta &=& \frac{3280\pm\sqrt{3280^2-4(1681)(1600)}}{2\cdot 1681}\\ &=&\frac{2\cdot40\cdot41\pm\sqrt{(2\cdot40\cdot41)^2-4(41^2)(40^2)}}{2\cdot 41\cdot41}\\ &=&\frac{2\cdot40\cdot41}{2\cdot 41\cdot41}\\ &=&\frac{40}{41}\\ \end{array}$$

Answer 4

He observado que $9,40$ y $41$ son triples pitagóricas, es decir $9^2+40^2=41^2$ . Este hecho se puede utilizar para resolver la pregunta fácilmente. Mostraré la solución para el caso general:
$a\cos\theta+b\sin\theta=c,$ dado que $a^2+b^2=c^2$

$$a\cos\theta+b\sin\theta=c$$ $$b\sin\theta=c-a\cos\theta$$ Cuadrando ambos lados: $$b^2\sin^2\theta=c^2+a^2\cos^2\theta-2ca\cos\theta$$ Sustituyendo $c^2$ con $a^2+b^2$ da: $$b^2\sin^2\theta=a^2+b^2+a^2\cos^2\theta-2ca\cos\theta$$ $$a^2+b^2\cos^2\theta+a^2\cos^2\theta-2ca\cos\theta=0$$ $$a^2+(a^2+b^2)\cos^2\theta-2ca\cos\theta=0$$ $$a^2+(c\cos\theta)^2-2a(c\cos\theta)=0$$ $$(a-c\cos\theta)^2=0$$ $$\cos\theta=\dfrac{a}{c}$$

Sustituyendo $c=41$ y $a=40$ dará la solución de la ecuación concreta tratada en la pregunta.

Una cosa interesante es que $\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac{a^2}{c^2}}=\dfrac{b}{c}, $ es decir, la ecuación pertenece en realidad a un triángulo rectángulo que tiene $a$ como base, $b$ como su prependicular y $c$ como su hipotenusa.

Existe otro método en el que dividimos ambos lados de la ecuación con $\sqrt{a^2+b^2}$ y luego utilizar la identidad: $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \cos B$

Este método dará los mismos resultados.

Converse

Consideremos un triángulo rectángulo de base $a$ perpendicular $b$ y la hipotenusa $c$ . Tenemos:

$$\cos\theta=\dfrac{a}{c}\ \ \text{and}\ \ \ \sin\theta=\dfrac{b}{c}$$ $$\implies a=c\cos\theta \ \ \ \text{and}\ \ \ b=c\sin\theta$$

Por el teorema de Pitágoras: $$a^2+b^2=c^2 $$ $$\implies\ c^2\cos^2\theta+c^2\sin^2\theta=c^2$$ $$\implies c\cos\theta \cdot c\cos\theta + c\sin\theta \cdot c\sin\theta=c^2$$ $$\implies a\cos\theta+b\sin\theta=c$$

Answer 5

Desde $41^2 - 40^2 = (41-40)(41+40) = 81 = 9^2$ existe un ángulo $\phi$ satisfaciendo $$\sin \phi = \frac{40}{41}, \quad \cos \phi = \frac{9}{41},$$ de ahí $$\begin{align*} 1 &= \frac{9}{41} \sin \theta + \frac{40}{41} \cos \theta \\ &= \sin\theta \cos\phi + \cos\theta \sin\phi \\ &= \sin(\phi+\theta),\end{align*}$$ de lo que se deduce que $\phi+\theta = \pi/2 + 2\pi k$ para algún número entero $k$ Por lo tanto $$\cos\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k - \phi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) = \sin\phi = \frac{40}{41},$$ y hemos terminado.