Euler clase y Vandermonde polinomio

Question

Encontré lo siguiente en la página de wikipedia para la clase de Euler.

"Si el rango de $r$ es par, entonces este cohomology de la clase $e(E) \cup e(E)$ es igual a la parte superior Pontryagin clase $p_{r/2}(E)$. Bajo el principio de separación, esto corresponde a la plaza de la Vandermonde polinomio igualando el discriminante: el de Euler clase corresponde a la Vandermonde polinomio, la básica alterna polinomio, mientras que la parte superior Pontryagin clase corresponde a la discriminante de un polinomio simétrico. Más formalmente, la clase de Euler de una suma directa de línea de paquetes es el Vandermonde polinomio (orientación determina el orden de la línea de paquetes de hasta firmar), mientras que la parte superior de Pontryagin clase es el discriminante."

¿Alguien puede aclarar esto me? En particular, no entiendo el sentido de "la clase de Euler de una suma directa de línea de paquetes es el Vandermonde polinomio". He comprobado las referencias, pero no hay nada acerca de eso.

Answer 1

De acuerdo a la Chern-Weil teoría (véase, por ejemplo, estas notas de la conferencia por Johan Dupont) , característico de las clases, tales como el de Euler y de Pontryagin clases corresponden a polinomios invariantes (en el paquete de la estructura de grupo) de la curvatura de la forma del vector paquete. Básicamente, lo que el principio de separación nos dice es que estos polinomios pueden ser "formalmente", escrita en términos de pullbacks de la curvatura de las formas de la línea de paquetes que corresponden a los "valores propios" de la curvatura formulario (vista como una antisimétrica endomorfismo).El invariante polinomio correspondiente a la clase de Euler es el Vandermonede polinomio. Para un determinado rango del vector paquete, siempre se puede escribir estos polinomios en términos del vector paquete de la curvatura de la forma y el uso de la línea de paquete de la curvatura de las formas es para simplificar la expresión algebraica de trabajo.