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(¿Por qué) la topología no es de primer orden?

¿Es correcto decir que la topología es no es posible ordenar (sólo) porque la unión de arbitrariamente ¿tiene que haber muchos conjuntos abiertos? Y si "arbitrariamente muchos" se relajara a "finitamente muchos", la topología sería ¿se puede ordenar por primera vez?

Puedo imaginar dos versiones de la teoría relajada: una cuyos modelos deben ser conjuntos de potencias, y otra cuyos modelos pueden ser retículos booleanos arbitrarios (ambos con un predicado extra "abierto").

¿Se ha encontrado alguna de estas teorías relajadas de primer orden que merezca ser estudiada por sí misma?

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JoshL Puntos 290

No es posible la primera ordenación es un concepto de la filosofía en el que algunos argumentan que determinadas oraciones del lenguaje natural no pueden ser capturadas en determinadas teorías de primer orden. Un ejemplo de frase que consideran es "Algunos críticos sólo se admiran unos a otros". Como concepto, la no primogenitura no se aplica realmente a las teorías matemáticas, sino sólo a las oraciones en inglés. Prácticamente todas las matemáticas pueden formalizarse directamente en la teoría de conjuntos de primer orden y, en particular, así es como se suele formalizar la topología.

Hay algunas dificultades con el argumento sobre la no-primera-ordenabilidad como se presenta a menudo, incluyendo el argumento en la página de Wikipedia [2]. La principal es que esa página se refiere a un frase como una sentencia de segundo orden. Sin embargo, no hay nada en la sintaxis de una oración que la vincule a una semántica concreta: la misma oración podría estudiarse en la lógica de segundo orden de uno o de dos órdenes. Yo diría que cualquier cosa que pueda expresarse en la lógica de segundo orden puede expresarse en la lógica de primer orden de dos órdenes. (Esto lleva a una discusión sobre lo que significa "expresar" algo formalmente, que es para otro día). Lo que quiero decir es que hay que tomar estas afirmaciones de forma crítica, porque las cuestiones filosóficas que se discuten pueden o no tener mucha relevancia para un matemático en activo.

* Teoría de primer orden de los espacios topológicos *

Antes de hacer más comentarios sobre la no-primera ordenabilidad, quiero explicar cómo hacer una teoría de primer orden de los espacios topológicos. La técnica que describo aquí es familiar para muchos lógicos - es rutinaria, no novedosa.

La firma del lenguaje incluye tres tipos de variables, ningún símbolo de función, ningún símbolo de constante y los siguientes símbolos de relación:

  • $=^0$ , $=^1$ , $=^2$ : símbolos de relación de igualdad para cada una de las tres clases
  • Una relación unitaria $U(x^1)$ que toma un objeto de tipo 1
  • $R(x^0,x^1)$ una relación binaria que toma un objeto de tipo 0 y un objeto de tipo 1
  • $S(x^1,x^2)$ una relación binaria que toma un objeto de tipo 1 y un objeto de tipo 2

Tenga en cuenta que esto es, hasta ahora, sólo una firma no interpretada $\sigma$ que es indiscutiblemente una firma de primer orden tripartita. Podemos utilizarlo para estudiar varias cosas, pero en particular es útil para la topología. El uso de tres ordenamientos no es esencial; la lógica de primer orden de muchos ordenamientos puede interpretarse en lógica de primer orden de un ordenamiento, por lo que no hay ganancia de expresividad. Simplemente es más conciso utilizar la lógica de muchos órdenes.

Todo espacio topológico $X$ da lugar a un $\sigma$ -estructura $M_X$ de la siguiente manera:

  • Los objetos de $M_X$ de tipo 0 son los puntos de $X$
  • Los objetos de $M_X$ de tipo 1 son los conjuntos de puntos de $X$
  • Los objetos de $M_X$ de tipo 2 son los conjuntos de puntos de $X$
  • $U$ se interpreta de manera que $U(a^1)$ tiene en $M_X$ si y sólo si $a^1$ es un conjunto abierto en $X$
  • $R$ se interpreta de manera que $R(a^0, a^1)$ tiene en $M_X$ si y sólo si $a^0 \in a^1$ .
  • $S$ se interpreta de manera que $S(a^1,a^2)$ tiene en $M_X$ si y sólo si $a^1 \in a^2$ .
  • Todos los símbolos de relación de igualdad se interpretan en $M_X$ como las relaciones de igualdad reales en los tres tipos

Dejemos que $T$ sea el conjunto de todos los $\sigma$ -sentencias $\phi$ tal que para todo espacio topológico $X$ , $\phi$ es cierto en $M_X$ . Entonces, en la jerga habitual, $T$ es el teoría de primer orden de los espacios topológicos en firma $\sigma$ . $T$ incluirá, por ejemplo, esta sentencia de primer orden que expresa el hecho de que la unión de una colección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta:

$$ (\forall x^2)((\forall z^1)(S(z^1,x^2)\to U(z^1)) \to (\exists x^1)(U(x^1) \land (\forall x^0)(x^0 \in x^1 \leftrightarrow (\exists z^1)(R(x^0,z^1)\land S(z^1,x^2))) $$

Más ejemplos: $T$ contendrá sentencias que expresen el axioma de extensionalidad para las clases 1 y 2; contendrá una sentencia que diga que el conjunto vacío es un conjunto abierto, y contendrá una sentencia que diga que la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta. Todas ellas pueden expresarse naturalmente como sentencias de primer orden en la firma $\sigma$ .

Como mencioné, el uso de tres ordenamientos no es necesario aquí, se pueden simular añadiendo tres predicados unarios adicionales a la estructura. Así que podríamos hacer lo mismo en la lógica de primer orden de un solo orden.

* Análisis *

Cualquier argumento de que algo "no es de primer orden" tiene que hacerse con la conciencia de este tipo de construcción. Puede haber algún sentido en el que la teoría $T$ que acabo de construir no es una "teoría de primer orden", pero ese sentido parece ser muy sutil, y discrepa de la terminología habitual. Parece más natural aceptar que $T$ es, en efecto, una teoría de primer orden y preguntar qué podría significar la "no-primera-ordenabilidad" dada la existencia de ejemplos como éste. Estoy seguro de que los filósofos que estudian la no-primer orden deben conocer ejemplos como éste, así que cuando leemos sus observaciones tenemos que tener en cuenta que "no puede expresarse en la lógica de primer orden" podría no tener su significado literal.

Un hecho clave a tener en cuenta es que no hay un conjunto de axiomas de primer orden, en la firma $\sigma$ , tal que todo modelo de estos axiomas es de la forma $M_X$ para algún espacio topológico $X$ . La forma teórica de decir esto es que la colección de modelos que corresponden a espacios topológicos reales no es una "clase elemental". Pero hay muchos otros objetos que estudiamos en la lógica de primer orden que no forman clases elementales; la cuestión de qué clases de estructuras son elementales fue una motivación central de la teoría clásica de modelos. Si todo lo que quisiéramos decir con "no primigenio" fuera "no es una clase elemental", entonces simplemente utilizaríamos la terminología establecida. Por tanto, creo que "no primigenio" debe entenderse en el sentido de algo más que "no es una clase elemental".

Sin embargo, a la luz de ejemplos como el anterior, no estoy seguro de cuál sería una definición rigurosa de "no primer ordenable". Parece estar relacionada con la capacidad de expresar una teoría en una firma particularmente limitada. Pero, por ejemplo, los axiomas de una topología mencionan puntos, conjuntos de puntos y conjuntos de conjuntos de puntos, y la teoría que he construido antes parece una teoría bastante mínima, sintácticamente, para expresar proposiciones sobre estos tres tipos de objetos.

En el caso de la frase "Algunos críticos sólo se admiran unos a otros", la cuestión filosófica es si la frase implica necesariamente conjuntos (en cuyo caso esperaríamos utilizar conjuntos para formalizarla) o si puede entenderse sin referencia a conjuntos. Esta es una buena pregunta filosófica. Pero teorías matemáticas como la topología o la teoría de los campos completos ordenados mencionan explícitamente los conjuntos, por lo que no me parece obvio que esperemos poder axiomatizarlas sin conjuntos.

La cuestión que Terence Tao describió en su blog [2] es un poco diferente. El problema no es con los conjuntos directamente, es con el seguimiento de la dependencia de las variables cuantificadas en lo profundo de una fórmula en las variables cuantificadas más lejos en la fórmula. Creo que esto también es cualitativamente diferente a la cuestión de la topología.

1: http://en.wikipedia.org/wiki/Nonfirstorderizability

2: http://terrytao.wordpress.com/2007/08/27/printer-friendly-css-and-nonfirstorderizability/

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