Probabilidad de que, dado un conjunto de uniforme de variables aleatorias, la diferencia entre los dos más pequeños los valores es mayor que un cierto valor

Question

Deje $\{X_i\}$ $n$ iid uniforme(0, 1) variables aleatorias. ¿Cómo puedo calcular la probabilidad de que la diferencia entre el segundo valor más pequeño y el más pequeño el valor es al menos $c$?

Me he metido con este numéricamente y hemos llegado a la conjetura de que la respuesta es $(1-c)^n$, pero no he sido capaz de obtener el este.

Veo que $(1-c)^n$ es la probabilidad de que todos los valores serían, al menos,$c$, así que tal vez esto se relaciona con el?

Answer 1

Probablemente hay una elegante manera conceptual para ver esto, pero aquí es un ataque de fuerza bruta enfoque.

Deje que nuestro variables se $X_1$ a través de $X_n$, y consideran que la probabilidad $P_1$ que $X_1$ es el más pequeño, y todas las otras variables son, al menos, $c$ por encima de él. La primera parte de esto se deduce automáticamente de la última, así que debemos tener $$P_1 = \int_0^{1-c}(1-c-t)^{n-1} dt$$ donde la integración de la variable $t$ representa el valor de $X_1$ $(1-c-t)$ es la probabilidad de que $X_2$ etc satisface la condición.

Puesto que la situación es simétrica en las distintas variables, y dos variables no puede ser el menos uno, al mismo tiempo, el total de probabilidad es simplemente $nP_1$, y se puede calcular $$ n\int_0^{1-c}(1-c-t)^{n-1} dt = n\int_0^{1-c} u^{n-1} du = n\left[\frac1n u^n \right]_0^{1-c} = (1-c)^n $$