También hay un bijective prueba.
Dada una partición de $n$, en el que ninguna parte es divisible por $k+1$, suponga que tiene una parte $a$ que se utiliza más de $k$ veces. A continuación, combinar $k+1$ apariciones de $a$ en una sola ocurrencia de $(k+1)a$. Repita hasta que ninguna parte se utiliza más de $k$ veces.
Dada una partición de $n$, en el que ninguna parte se utiliza más de $k$ de las veces, si usted tiene una parte $a=(k+1)r$ que es un múltiplo de a $k+1$, dividido en $k+1$ apariciones de la parte $r$. Repita hasta que ninguna parte es un múltiplo de a $k+1$.
Esto le da un bijection entre particiones con ninguna parte divisible por $k+1$, y las particiones con ninguna parte que se utiliza más de $k$ veces.
Para ilustrar, con $k=2$. Considere la posibilidad de la partición $$39=1+1+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2+2+4+4+4+4+4$$ This partition has no part divisible by $3$. Let's abbreviate it to $1^72^64^5$. Then we go $$1^72^64^5\to1^31^42^64^5\to1^42^634^5\to1^312^634^5\to12^63^24^5\to12^32^33^24^5\to12^33^24^56\to$$
$$\to13^24^56^2\to13^24^34^26^2\to13^24^26^2(12)$$ y tenemos una partición con ninguna parte usarse más de dos veces.
En la otra dirección, supongamos que empezamos con $51=123^24^2567^29$, ninguna parte usarse más de dos veces. Hemos dividido el $9$ en tres $3$s, entonces la $6$ en tres $2$s, entonces cada una de las $3$ en tres $1$s: $$123^24^2567^29\to123^54^2567^2\to12^43^54^257^2\to1^{16}2^44^257^2$$ a partition with no part divisible by $3$.
