Sea $\pi: V \to M$ un haz vectorial suave de dimensión $n$ sobre $M$. ¿Los espacios de formas diferenciales $\Omega^i(V)$, $\Omega^i(V^*)$ son isomorfos de manera no canónica? Si es así, ¿cómo puedo ver esto? ¿Hay algún lugar donde esto se haya probado o refutado?
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Si $V$ es un haz de vectores reales, un producto interno por fibra en $V$ determina un isomorfismo $V \to V^*$ por $v \mapsto \langle v, -\rangle$. Así que cualquier otra cosa que puedas posiblemente hacer con $V$ y $V^*$ son isomorfas: en particular, determina un isomorfismo $\Lambda^i T^*M \otimes V \to \Lambda^i T^*M \otimes V^*$. Esto, entonces, define un isomorfismo de los espacios de secciones (como módulos de $C^\infty(M)$) $\Omega^i(V) \to \Omega^i(V^*)
Sin embargo, si $V$ es un haz de vectores complejos, esto generalmente no es cierto. Una clase de obstrucciones son las clases de Chern. Tenemos $c_i(V^*) = (-1)^i c_i(V)$, y así que si $V \cong V^*$, entonces $2c_{2n+1}(V) = 0$. (Podría haber 2-torsión en los grupos de cohomología relevantes, por lo que estas no desaparecen literalmente, pero no se preocupe demasiado por este punto.) Ahora, como espacios vectoriales, $\Omega^i(V) \cong \Omega^i(V^*)$ por razones de cardinalidad poco interesantes, pero generalmente no serán isomorfos como módulos de $C^\infty(M;\Bbb C)$.
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Depende del tipo de isomorfismo que tengas en mente. Si son espacios vectoriales, verdadero pero no interesante. Si son fibrados vectoriales, generalmente falso.
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@QiaochuYuan Estoy un poco confundido. Dado que no se especificó lo complejo, estoy asumiendo que se refiere a paquetes reales, y todos los paquetes reales son isomorfos a sus duales al elegir una métrica por fibra, y por lo tanto, también lo son los paquetes exteriores $\Lambda^i V \cong \Lambda^i V^*$ y los paquetes de formas de valor $V$ $\Lambda^i T^*M \otimes V \cong \Lambda^i T^*M \otimes V^*$, sea cual sea a lo que OP se refiera. ¿Te refieres a paquetes de vectores complejos o me estoy perdiendo algo?
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Sí, lo siento, tenía en mente paquetes complejos.