Es cierto que cada polinomio $f(x) $ ( no idéntica a $0$ ) tiene un múltiplo $g(x)=f(x)h(x)\ne0$, en la que cada exponente es un número primo , que es $g(x)$ es de la forma $\sum_{p \text{ is prime}} a_p x^p$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Milo Brandt
Puntos
23147
Se puede demostrar que, para cualquier conjunto infinito $S$ de los números naturales y cualquier polinomio $f$ (supone más de $\mathbb{C}$, que fácilmente implica que más de $\mathbb{R}$), debe ser un múltiplo $g$ $f$ tal que $$g(x)=\sum_{s\in S}a_sx^s.$$
Para demostrar esto, simplemente, tenga en cuenta que la condición de $f$ divide $g$ puede ser reescrita como:
Si $f$ tiene una raíz de grado $d$$x$, $g$ tiene una raíz de al menos grado $d$ $x$ así
que es una consecuencia del hecho de que todo polinomio se puede escribir como un producto de factores lineales. Por otra parte, esto significa que, dado que "tiene una raíz de grado $d$ $x$" es equivalente a decir que el $f^{(i)}(x)=0$ cualquier $0\leq i < d$ donde $f^{(i)}$ $i^{th}$ derivado de la $f$. Por lo tanto, podemos ampliar la condición de que $f$ divide $g$ en una serie de $\deg(f)$ igualdades de la forma (para la secuencia de la $n_i$$x_i$): $$g^{(n_i)}(x_i)=0$$ o, de manera equivalente, $$\sum_{\substack{s\in S\\s\geq n_i}}a_s\frac{s!}{(s-n_i)!}x_i^{s-n_i}=0.$$ Esto significa que tenemos que resolver un sistema de $\deg(f)$ ecuaciones para encontrar una adecuada selección de $a_s$ -, pero esto es fácil; en particular, vamos a $I\subset S$ ser un conjunto tal que $|I|=\deg(f)+1$ y considere el espacio vectorial de los polinomios de expresable como la $\sum_{i\in I}a_ix^i$. Esto ha dimensión $\deg(f)+1$. Observe que el conjunto de soluciones de cada ecuación $$\sum_{\substack{s\in I\\s\geq n_i}}a_s\frac{s!}{(s-n_i)!}x_i^{s-n_i}=0$$ es un subespacio lineal de dimensión $\deg(f)$. La intersección de dos subespacios tiene dimensión, al menos, $\deg(f)-1$ - y la intersección de los subespacios asociados a cada una de las $\deg(f)$ ecuaciones tiene dimensión, al menos,$1$, lo que implica que hay algunas que no sea cero solución para cada ecuación y que no es, por lo tanto, algunos de varios exponentes sólo en $I\subset S$.
