Salem números y Lehmer del decicarle

Question

Dado,

$$x^{12}-x^7-x^6-x^5+1 = 0\tag1$$

Esto ha Lehmer del decicarle polinomio como un factor,

$$x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1=0\tag2$$

de ahí que una de sus raíces es el más pequeño que se conoce Salem número. Todos los diez raíces obedecer a la hermosa cyclotomic relación,

$$x^{630}-1=\frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{3}-1)^3(x^{2}-1)^5(x-1)^3} {(x^{35}-1)(x^{15}-1)^2(x^{14}-1)^2(x^{5}-1)^6\, x^{68}}$$

encontrado por D. Broadhurst. Pero esto fue en 1999 (documento aquí). Tiene algo similar para otros Salem números ha encontrado desde entonces?

Answer 1

Revisando esta vieja pregunta, ahora armado con Mathematica "Entero Relaciones", me parece que es muy fácil buscar similares polinomio de relaciones. Por ejemplo, supongamos $x$ ser una raíz de Lehmer del decicarle, entonces es también el caso de que,

$$x^{630}-1 = \frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{10}-1)(x^{9}-1)}{(x^{70}-1)(x^{63}-1)(x^{45}-1)(x^{42}-1)(x^{30}-1)(x^{6}-1)}$$

Dada la quinta más pequeño que se conoce Salem número $y$ y una raíz de la decicarle,

$$y^{10}-y^6-y^5-y^4+1=0$$

a continuación,

$$y^{210}-1 =\frac{(y^{105}-1)(y^{70}-1)(y^{42}-1)(y^{30}-1)(y^{14}-1)(y^{6}-1)(y^{3}-1)^2}{ (y^{35}-1)(y^{10}-1)(y^{7}-1)^2(y^{2}-1)\,y}$$