Probar lo siguiente:
Para $0 \le \alpha,\beta \le \frac{\pi}{2}$, si $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \le 1+\epsilon$$ a continuación, $$\frac{\alpha}{\beta} \le 1+\sqrt\epsilon$$
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Respuesta
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Puede ser enunciada de la siguiente manera: si $x,y\in[0,1]$$\frac{x}{y}\leq 1+\epsilon$,$\frac{\arcsin(x)}{\arcsin(y)}\leq 1+\sqrt{\epsilon}$.
O de la siguiente manera: si $z,w\in\mathbb{R}^-$$z-w\leq\log(1+\epsilon)$,$\log\arcsin e^z-\log\arcsin e^w\leq \log(1+\sqrt{\epsilon})$. O de la siguiente manera: para cada $u>0$, y para cada $z,w\in\mathbb{R}^-$ tal que $z-w\leq u$, tenemos: $$\log\arcsin e^{z}-\log\arcsin e^w \leq \log\left(1+\sqrt{e^u-1}\right).\tag{1}$$ Desde $f(z)=\log\arcsin e^z$ es una función convexa$^{(*)}$$\mathbb{R}^-$, para un valor fijo de $z-w$ el máximo de la LHS de $(1)$ es alcanzado cuando $z=0$. En el otro lado de la RHS de $(1)$ es una función creciente con respecto a $u$, por lo que el problema se reduce a probar que: $$\forall u>0,\qquad \frac{\pi}{2\arcsin e^{-u}}\leq 1+\sqrt{e^u-1} \tag{2}$$ o: $$\forall t>0,\qquad \frac{\pi}{2\arcsin\frac{1}{t^2+1}}\leq 1+t \tag{3} $$ que, por desgracia, no se sostiene (al contrario que la desigualdad es por la convexidad de la LHS).
Con el fin de que conceda a la verdad de su declaración, el original de la $\frac{\pi}{2}$ tiene que ser reemplazado por algo más pequeño, o el original de la $\sqrt{\epsilon}$ tiene que ser sustituido por algo como $\frac{8}{\pi}\sqrt{\epsilon}$, como los autores del artículo vinculado hacer. El fijo de la desigualdad puede ser demostrado a lo largo de la misma línea que el anterior.
$(*)$ Prueba de que $\log\arcsin e^x$ es una función convexa en $\mathbb{R}^-$. Es suficiente para probar que $$\frac{d}{dx}\log\arcsin e^x = \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}\arcsin(e^x)}$$ es una función creciente en $\mathbb{R}^-$ o que $$ \frac{u}{\sqrt{1-u^2}\arcsin(u)} $$ es una función creciente en $(0,1)$ o que $$ \frac{\tan t}{t} $$ es una función creciente en $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, pero que fácilmente se desprende de la convexidad de la función tangente en dicho intervalo, o del hecho de que la serie de Taylor de $\tan(x)$ en una vecindad del origen, sólo no negativo de los coeficientes, también porque: $$ \frac{\tan t}{t}=\sum_{n\geq 0}\frac{8}{(2n+1)^2\pi^2-4t^2}.$$
