Gran distancia entre dos consecutivos cuadrados de los números libres

Question

Deje $q_n$ el valor del $n$-ésimo cuadrado número gratuito. Por el teorema del resto Chino (ver este post), no es difícil mostrar que no es arbitrariamente grande la brecha entre dos consecutivos cuadrados de los números libres, es decir, $\limsup_{n\to\infty}(q_{n+1}-q_n)=\infty$. Cómo probar el más fuerte bound? $$\limsup_{n\to\infty}\frac{q_{n+1}-q_n}{\log n/\log\log n}\geq \frac{1}{2}.$$ Yo no se cómo empezar, gracias por la ayuda.

Edit: Este es un ejercicio (Ejercicio 2.20) de A. J. Hildebrand es Una introducción a la teoría analítica de números.

Answer 1

Tenía curiosidad acerca de lo grande que relación podía quedarse. Tuve que imprimir sólo cuando la proporción supera 1.5. No parece estar muriendo. La parte posterior de que el ejercicio dice demostrar la limsup es, al menos, $\pi^2/12 \approx 0.822467$ De lo que yo estoy viendo, un limsup entre 1 y 2 parece una buena apuesta. Probablemente sea difícil de demostrar, aunque.

En primer lugar, sólo cuando la proporción aumenta:

 n = 4   old q  3  q 5  ratio  0.1712120437515166    gap  2
 n = 5   old q  5  q 6  ratio  0.2356168135275511    gap  1
 n = 6   old q  6  q 7  ratio  0.2956839724294714    gap  1
 n = 7   old q  7  q 10  ratio  0.9764671388072846    gap  3
 n = 17   old q  23  q 26  ratio  1.103425220291327    gap  3
 n = 32   old q  47  q 51  ratio  1.437072374330929    gap  4
 n = 151   old q  241  q 246  ratio  1.608142099431302    gap  5
 n = 516   old q  843  q 849  ratio  1.760024446369004    gap  6

Ahora, la proporción mayor de 1.5

 n = 151   old q  241  q 246  ratio  1.608142099431302    gap  5
 n = 516   old q  843  q 849  ratio  1.760024446369004    gap  6
 n = 1026   old q  1679  q 1685  ratio  1.675782937474057    gap  6
 n = 1756   old q  2887  q 2893  ratio  1.615152343691931    gap  6
 n = 2208   old q  3623  q 3629  ratio  1.590625635457252    gap  6
 n = 3071   old q  5045  q 5051  ratio  1.556608495338398    gap  6
 n = 13392   old q  22019  q 22026  ratio  1.658619700318701    gap  7
 n = 14985   old q  24646  q 24653  ratio  1.647791097638391    gap  7
 n = 18804   old q  30922  q 30929  ratio  1.626378938461883    gap  7
 n = 28995   old q  47671  q 47678  ratio  1.587166663694555    gap  7
 n = 33718   old q  55446  q 55453  ratio  1.573982134381624    gap  7
 n = 34728   old q  57119  q 57126  ratio  1.571431499337303    gap  7
 n = 44650   old q  73446  q 73453  ratio  1.550075102998279    gap  7
 n = 45501   old q  74847  q 74854  ratio  1.54849635050823    gap  7
 n = 58776   old q  96674  q 96681  ratio  1.527433347355694    gap  7
 n = 64310   old q  105771  q 105778  ratio  1.520178814511105    gap  7
 n = 73964   old q  121666  q 121673  ratio  1.509052248661901    gap  7
 n = 74071   old q  121846  q 121853  ratio  1.50893818425337    gap  7
 n = 131965   old q  217069  q 217077  ratio  1.674107764035864    gap  8
 n = 408142   old q  671345  q 671353  ratio  1.584428949113135    gap  8
 n = 502653   old q  826823  q 826831  ratio  1.569036523505159    gap  8
 n = 664314   old q  1092746  q 1092755  ratio  1.742561268994944    gap  9
 n = 867735   old q  1427369  q 1427377  ratio  1.530225943242189    gap  8
 n = 1274859   old q  2097047  q 2097055  ratio  1.50414070948736    gap  8
 n = 4387186   old q  7216617  q 7216626  ratio  1.605004820261783    gap  9
 n = 5392319   old q  8870023  q 8870033  ratio  1.768248678666427    gap  10
 n = 8741561   old q  14379270  q 14379279  ratio  1.560603965676062    gap  9
 n = 13760650   old q  22635346  q 22635355  ratio  1.532852419427845    gap  9
 n = 15086919   old q  24816973  q 24816982  ratio  1.527358881812587    gap  9
 n = 15227282   old q  25047845  q 25047854  ratio  1.526808447544024    gap  9
^C

Vale la pena destacar que el real $q_{n+1} - q_n$ son bastante pequeñas, cerca del final de esta salida sólo 9 o 10. Eh, salida más corta, me dije para seguir adelante para siempre, y sólo se imprime cuando el tamaño de la brecha aumenta. Aquí es hasta el momento:

 n = 4   old q  3  q 5  ratio  0.1712120437515166    gap  2
 n = 7   old q  7  q 10  ratio  0.9764671388072846    gap  3
 n = 32   old q  47  q 51  ratio  1.437072374330929    gap  4
 n = 151   old q  241  q 246  ratio  1.608142099431302    gap  5
 n = 516   old q  843  q 849  ratio  1.760024446369004    gap  6
 n = 13392   old q  22019  q 22026  ratio  1.658619700318701    gap  7
 n = 131965   old q  217069  q 217077  ratio  1.674107764035864    gap  8
 n = 664314   old q  1092746  q 1092755  ratio  1.742561268994944    gap  9
 n = 5392319   old q  8870023  q 8870033  ratio  1.768248678666427    gap  10

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