Dar un ejemplo de un espacio topológico $X$ y un subconjunto finito $A$ $X$ tal que $\bar{A}$ es un conjunto infinito

Question

Dar un ejemplo de un espacio topológico $X$ y un subconjunto finito $A$ $X$ tal que $\bar{A}$ es un conjunto infinito.

He pensado mucho acerca de esta cuestión y todo lo que puedo pensar es considerar $\mathbb{R}$ con la topología discreta. En esta topología, el conjunto $A=\left \{ 1,2\right \}$ es abierto y $\overline{A}$ es infinito, porque todos los conjuntos de $1$$2$, que son infinitas... Es este razonamiento correcto? Muchas gracias.

Answer 1

Hay, por supuesto, el trivial o indiscreta topología en cualquier conjunto infinito.

También se puede cocer un ejemplo de uso de un punto en especial. Deje $X$ ser un conjunto infinito y $x_0\in X$. Nuestro objetivo es definir una topología de hacer de cada punto a a un punto límite de $\{x_0\}$. Definir $\tau$ a ser la colección de subconjuntos de a $X$ que contengan $x_0$, con el conjunto vacío. Compruebe que esta es una topología en $X$. (De hecho, incluso es cerrado bajo intersecciones arbitrarias.)

A continuación,$\overline{\{x_0\}}=X$. De hecho, si $x\in X$, entonces cada conjunto abierto $U$ contiene $x$ han $x_0\in U$ y, por tanto,$U\cap\{x_0\}\ne\emptyset$. Por lo tanto,$x\in\overline{\{x_0\}}$, lo que demuestra el cierre de la $\overline{\{x_0\}}=X$ del conjunto finito $\{x_0\}$ es infinte.

Answer 2

Tome $(\mathbb{R},\tau)$,$\tau=\{\emptyset,\mathbb{R}\}\cup\{(-\infty,a)\,|\,a\in\mathbb R\}$. A continuación,$(\forall x\in\mathbb{R}):\overline{\{x\}}=[x,+\infty)$. Más generalmente, si $F\subset\mathbb R$ es finito y no vacío, entonces $\overline F=[\min F,+\infty)$.

Answer 3

Deje $S$ ser un conjunto infinito tal que $\mathbb{R}\cap S = \emptyset$. Considerar el espacio topológico $\mathbb{R} \cup S$, donde el abrir los conjuntos de la forma

$$\begin{cases} U, & \text{if %#%#%} \\ U\cup S, & \text{if %#%#%} \end{casos}$$

para algunos $0\notin U$ que es abierto en la topología estándar en $0 \in U$.

Ahora tenemos $U \subseteq \mathbb{R}$, desde todos los barrios de un elemento de $\mathbb{R}$ contiene $\overline{\{0\}} = S \cup \{0\}$:

Tomar una arbitraria $S$. Para cada vecindad $0$ $x \in S$ tenemos $U$.