Hay una única conexión preferida en un colector general?

Question

Me preguntaba si, para un determinado finito-dimensional del colector, la conexión de $\nabla$ existe y está definida de forma única?

Afais de Riemann colectores, existe siempre exactamente uno de Levi-Civita de conexión, pero el cálculo es bastante engorroso.

Ahora, si tenemos en cuenta los colectores sin una métrica, aún hay siempre una conexión (ahora no requerimos de torsión libertad y la compatibilidad con la métrica, por supuesto)?

Answer 1

No, en general colector $M$:

• no hay preferencia lineal de conexión,
• siempre hay al menos una conexión de $\nabla$, y
• las conexiones en $M$ son precisamente los mapas $$\bar{\nabla}_X Y := \nabla_X Y + A(X, Y),$$ where $Un \en \Gamma(TM \otimes T^*M \otimes T^*M)$ is a $(2, 1)$-tensor on $M$.

Como se ha mencionado, dada una métrica $g$$M$, la torsión, libertad y métrica condiciones de compatibilidad junto a escoger una única conexión. (Este resultado wis a veces llamado El Lema Fundamental de la Geometría de Riemann.)

Por otro lado, en general suave colector uno puede recoger algunos preferido de las clases de conexiones:

El más importante es el de uno ya se ha mencionado: El tensor de torsión $$T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X, Y]$$ es un invariante para la conexión, por lo que puede (y a menudo lo hacen) restringir la atención a la torsión libre de conexiones, es decir, aquellos para los que el tensor de torsión es $0$. De hecho, cualquier conexión de $\nabla$ determina un único torsión de conexión no $\widetilde{\nabla}$, es decir, $$\widetilde{\nabla}_X Y := \nabla_X Y - \tfrac{1}{2} T(X, Y) = \tfrac{1}{2} \nabla_X Y + \tfrac{1}{2} \nabla_Y X - \tfrac{1}{2}[X, Y].$$ En particular, cualquier liso colector admite una torsión de conexión.

Sustituyendo las coordenadas del vector campos de cualquier coordinar gráfico en la fórmula anterior muestra que la construcción de la $\nabla \rightsquigarrow \widetilde{\nabla}$ está dado por symmetrizing sobre la parte baja de los índices de los símbolos de Christoffel, es decir, los símbolos de Christoffel de $\nabla$ $\widetilde{\nabla}$ están relacionados por $$\widetilde{\Gamma}\!{}^c_{ab} = \tfrac{1}{2}(\Gamma^c_{ab} + \Gamma^c_{ba}) .$$ Desde la línea geodésica ecuación, $$\ddot{\gamma}^c + \Gamma^c_{ab} \dot{\gamma}^a \dot{\gamma}^b = 0 ,$$ es simétrica en estos índices, el geodesics de $\nabla$ y los de $\widetilde{\nabla}$ coinciden, así que, si sólo estamos interesados en el comportamiento de geodesics de una determinada conexión de $\nabla$, no hay nada malo en pasar a la correspondiente a la torsión de conexión gratuita a $\nabla$, que a veces es más fácil trabajar con.

Uno más se puede especializarse para así llamado especial de torsión libre de conexiones, es decir, aquellos que (a nivel local) conservar alguna forma de volumen en el colector; más precisamente, una conexión de $\nabla$ sobre una suave colector $M$ es especial si para todas las $p \in M$ hay un barrio $U$ $p$ y un volumen de la forma $\omega \in \Gamma(\Lambda^n T^* U)$ tal que $(\nabla \vert_U) \omega = 0$. Uno siempre puede elegir una conexión especial a nivel local, y, yo.yo.r.c., bajo algunas condiciones suaves, a nivel mundial.

Answer 2

Sin asunción de la compatibilidad con la métrica y la desaparición de torsión de conexión nunca es único; una vez que elija coordenadas locales, la relación de los coeficientes en estas coordenadas puede ser elegido arbitrariamente. Es muy exigente de la desaparición de torsión y la compatibilidad con la métrica con la que se corrige en el colector de Riemann. Aviso que se da de Riemann colector de frecuencia, usted puede elegir diferentes métricas en él y que el rendimiento de los distintos tipos de conexión.