Cómo demostrar a $C[a,b]$ con el sup-métrica es completo, mientras que con el $L^1$-métrica no es?

Question

Deje $C[a,b]$ ser el espacio de toda función continua definida en el intervalo $[a,b]$. Tenga en cuenta estas dos normas y métricas:

$$\|f\|_\infty= \sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\text{ and metric }\rho(f,g)=\|f-g\|_\infty$$

$$\|f\|_1=\int_a^b|f(x)|\,dx\text{ and metric }\rho(f,g)=\|f-g\|_1$$

¿Por qué la primera es completo, mientras que la segunda no lo es?

Answer 1

Sugerencias:

1) Para el sup norma, tomar una secuencia de Cauchy, observar es pointwise de Cauchy, el uso de la integridad de la $\mathbb{R}$ encontrar un pointwise límite, compruebe el límite es uniforme. Entonces es bien conocido el hecho de que el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es continua.

2) Por $L^1$ norma, considere la posibilidad de $f_n(x)$ igual a$0$$[a,\frac{a+b}{2}-\frac{1}{n}]$,$1$$[\frac{a+b}{2}+\frac{1}{n},b]$, y conectar estas dos piezas por un afín segmento.