Hechos ocurridos después de la fecha del período sobre el que se informa

Question

Supongamos que hay una bolsa de 10 idénticos octaedros, uno de los cuales es una feria de ocho lados morir numerados del 1 al 8.

Saca al azar uno de los octaedros de la bolsa. Si se dibuja la matriz, se debe rodar. Poner el octaedro dentro de la bolsa antes de dibujar de nuevo.

¿Cuál es la probabilidad de conseguir los rollos de cada número al menos una vez en $n$ trata?

Me doy cuenta de que esta pregunta no era muy elegantemente poner, y eso es debido a que esta fue una pregunta que le hice a mí mismo cuando yo estaba jugando a un juego. El principio es el mismo pero la pregunta que se cambió para que el juego de vocabulario específico de no confundir a la gente.

Probé por primera vez el $(0.1^8) (8!/8^8) \,{_n}C_8$, pero luego rápidamente se dio cuenta de mi error como $n<8$ no di $P=0$ y también fue posible por $P$$>1$.

Después de algunos intentos fallidos y algunos de la investigación me di cuenta de que esta pregunta podría ser, más allá de mi conocimiento actual y que este agujero del conejo podría ser más profunda de lo que yo pensaba inicialmente. Es más bien una pregunta extraña, pero tenía la esperanza de que si puedo conseguir algunas respuestas aquí.

Edit: parece que mi pregunta terminó siendo confuso después de todo, así que permítanme aclarar. Los octaedros se forma de la exactamente la misma pero sólo uno de ellos es en realidad un dado. O en realidad, el punto era que cada vez que hay sólo un 0,1 posibilidades de que usted vaya a tirar el dado.

Answer 1

Si entiendo correctamente la pregunta, usted tiene un cupón de coleccionista problema con $m=8$ tipos de cupón, pero usted es un dibujo de un cupón con una probabilidad de $\frac1r$ en cada intento, con $r=10$. Dada la probabilidad de tener un completo cupón de la colección después de dibujar $k$ cupones,

$$\def\stir#1#2{\left\{#1\atop#2\right\}}\frac{m!}{m^k}\stir km$$

(ver aquí), y el uso de la distribución binomial para el número de cupones que usted realmente dibujar, la probabilidad deseada es

\begin{align} &r^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk(r-1)^{n-k}\frac{m!}{m^k}\stir km\\ ={}&r^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk(r-1)^{n-k}\frac1{m^k}\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\binom mjj^k \\ ={}&r^{-n}\sum_{j=0}^m\binom mj(-1)^{m-j}\sum_{k=0}^n\binom nk(r-1)^{n-k}\frac{j^k}{m^k}\\ ={}&r^{-n}\sum_{j=0}^m\binom mj(-1)^{m-j}\left(r-1+\frac jm\right)^n\\ ={}&\sum_{j=0}^m\binom mj(-1)^j\left(1-\frac j{rm}\right)^n\;. \end{align}

Nos podría haber obtenido el mismo resultado directamente por la inclusión-exclusión; el último factor es la probabilidad de que cualquier particular $j$ de los números que no han sido lanzados después de $n$ intenta.