Demuestra que $\arctan\left({1\over A}\right)=\arctan\left({1\over B}\right)+\arctan\left({1\over C}\right)$

Question

$1,1,2,3,5,8,...$ para $n=1,2,3,4,5,...$ Ÿ Es el número n-ésimo de Fibonacci.

Demuestra eso,

$\arctan\left({1\over xF_{2n-1}+F_{2n}}\right)=\arctan\left({1\over xF_{2n-1}+F_{2n+1}}\right)+\arctan\left({1\over x^2F_{2n-1}+xF_{2n+2}+F_{2n+2}}\right)$

Lo intento:

Utilizando

$$\arctan\left({1\over a}\right)-\arctan\left({1\over b}\right)=\arctan\left({b-a\over ab+1}\right)$$

Ignora el arctán en aras del espacio.

$$\arctan{1\over xF_{2n-1}+F_{2n}}-\arctan{1\over xF_{2n-1}+F_{2n+1}}=\arctan{1\over x^2F_{2n-1}+xF_{2n+2}+F_{2n+2}}=T$$

$$\arctan{F_{2n+1}-F_{2n}\over x^2F_{2n-1}^2+xF_{2n-1}(F_{2n}+F_{2n+1})+F_{2n}F_{2n+1}+1}=T$$

$$\arctan{F_{2n+1}-F_{2n}\over x^2F_{2n-1}^2+xF_{2n-1}F_{2n+2}+F_{2n}F_{2n+1}+1}=T$$

$$\arctan{F_{2n-1}\over x^2F_{2n-1}^2+xF_{2n-1}F_{2n+2}+F_{2n}F_{2n+1}+1}=T$$

¿Alguna pista sobre cómo simplificar más esto?

Answer 1

Hacemos uso de la identidad: $$F_{2n-1}^2 -F_{2n}^2 + F_{2n}F_{2n-1} = 1...(1)$$ Podemos reescribir esto como: $$2F_{2n}F_{2n-1} + F_{2n-1}^2 = F_{2n}^2 + F_{2n}F_{2n-1} + 1$$ $$\implies F_{2n-1}[2F_{2n} + F_{2n-1}] = F_{2n}[F_{2n} + F_{2n-1}] + 1...(2)$$ Ahora, usamos la identidad: $$F_{n+m} = F_nF_{m+1} + F_{n-1}F_m$$ para cambiar los términos entre corchetes de $(2)$ en: $$F_{2n-1}F_{2n+2} = F_{2n}F_{2n+1} + 1$$ Esta es la misma condición que se obtiene al igualar el $\arctan \frac{F_{2n-1}}{x^2F_{2n-1}^2 + xF_{2n-1}F_{2n+2} + F_{2n}F_{2n+1} + 1}$ y $\arctan \frac{1}{x^2F_{2n-1} + xF_{2n+2} +F_{2n+2}}$ .

Espero que sea de ayuda.