Medida de Haar en un grupo compacto

Question

Deje que $G$ ser un grupo compacto y $ \mu $ una medida de Haar en $G$ . Deje que $A \subset G$ . ¿Es cierto que $ \mu (A) = \mu (A^{-1})$ ? ¿Por qué?

Answer 1

Defina $ \nu (E) = \mu (Ex)$ (para el fijo $x \in G$ ).

Es fácil ver que $ \nu $ es una medida de Haar en $G$ con $ \nu (G) = \mu (G)$ para que $ \nu = \mu $ por la singularidad. Esto muestra que $ \mu $ también es una invariante correcta.

Ahora define $ \gamma (E) = \mu (E^{-1})$ . Por derecho invariable de $ \mu $ , $ \gamma $ se deja invariable con $ \gamma (G) = \mu (G)$ . Por su singularidad, vemos $ \gamma = \mu $ completando la prueba.

EDITORIAL: La compactación se usa aquí para deducir $ \mu (G) < \infty $ para que el argumento $ \mu (G) = \nu (G)$ (y similar para $ \gamma $ ) de hecho implica $ \mu = \nu $ (porque la unicidad sólo produce $ \nu = c \mu $ para algunos $c>0$ ).