¿Qué es una combinatoria de prueba para esta identidad:
$1 \times 1! + 2 \times 2! + ... + n \times n! = (n + 1)! - 1$
Estoy tratando de averiguar lo que están a ambos lados tratando de contar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
universalset
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El $k$-ésimo término en el lado izquierdo, se cuenta el número de permutaciones de $\{1,\ldots,n+1\}$ cuyo último no de punto fijo es $k+1$. Elegimos uno de los primeros a $k$ a poner en la posición $k+1$, entonces para el resto de la primera $k+1$ en el primer $k$ posiciones en cualquier manera que nos gusta.
El lado derecho cuenta con todos los nonidentity permutaciones de $\{1,\ldots,n+1\}$ (aquellos con al menos un punto fijo).
