Es $(XY - 1)$ un ideal máximo en $k[[X]][Y]$ ?

Question

Es $(XY - 1)$ un ideal máximo en $k[[X]][Y]$ y si es así, ¿cómo puedo verlo?

Es al menos primo porque el generador es irreducible, y por el mismo argumento es máximo entre todos los ideales principales. Pero no he llegado más lejos que eso - Encontrar unidades en el anillo cociente tampoco ha resultado bien.

Answer 1

Si $A$ es un anillo conmutativo y $s\in A$ cualquier elemento , el anillo $ B=A[Y]/(sY-1)$ es isomorfo al anillo localizado $S^{-1}A$ , donde $S$ es el conjunto multiplicativo $S=\lbrace 1,s,s^2,s^3,... \rbrace \subset A$ .
Los ideales primos del anillo localizado $B$ están en biyección con los ideales primos de $A$ disjunta de $S$ El hecho fundamental de la localización es tal vez éste.

En su caso $A=k[[X]]$ , $s=X$ y los ideales primos del DVR $A=k[[X]$ son $(0)$ y $M=(X)$ .
El único ideal primario superviviente en $B=S^{-1}A$ es el ideal cero, ya que obviamente $M$ es eliminado por la localización, y por lo tanto $B$ es un campo (llamado campo de la serie de Laurent k((X)) sobre $k$ ).
Si vuelves a la otra definición de $B$ como $B=k[[X]][Y]/(XY-1)$ , ves que tu ideal $(XY-1)$ era efectivamente máxima.