Familiares de fondo (parte a fijar la notación). Supongamos que tenemos functors $F\colon \mathscr{A} \to \mathscr{B}$, $G\colon \mathscr{B} \to \mathscr{A}$ tal que $F \dashv G$, y functors $F'\colon \mathscr{B} \to \mathscr{C}$, $G'\colon \mathscr{C} \to \mathscr{B}$ tal que $F' \dashv G'$. Queremos demostrar la adjunctions componer, por lo $F'F \dashv GG'$.
Una forma es hacerlo a través de homsets.
Otra es a través de las unidades y counits. Supongamos $\eta, \varepsilon$ son la unidad y counit de la primera contigüidad, y $\eta', \varepsilon'$ la unidad y counit de la segunda contigüidad. Luego nos evidentemente natural transformaciones $\eta'', \varepsilon''$ definido por la composición de la siguiente manera: $$\eta'': \quad 1_{\mathscr{A}}\overset{\eta}\Longrightarrow GF \overset{G\eta'F}\Longrightarrow GG'F'F$$ $$\varepsilon'': \quad F'FGG' \overset{F'\epsilon G'}\Longrightarrow F'G' \overset{\varepsilon'}\Longrightarrow 1_{\mathscr{C}}$$ Así que para completar la prueba de que $F'F \dashv GG'$ "por" restos de mostrar a través de un diagrama de chase $\eta'', \varepsilon''$ son una unidad y counit para esta contigüidad con tal de satisfacer el triángulo de las igualdades.
Mac Lane, en efecto, establece como ejercicio para el lector en la parte inferior de la p. 103 de Categorías para el Trabajo Matemático. Pero este lector parece estar teniendo un alto momento (bueno, un par de momentos), que es la razón por la que voy a plantear aquí el bochorno de pregrado ...
Pregunta ¿Cómo funciona el diagrama de la persecución de uno de los triángulo de las igualdades ir realmente?
