Es el producto de un proximal del sistema con la misma proximal?

Question

Un topológico sistema dinámico es un par $(X,T)$ donde $X$ es un espacio métrico compacto y $T$ es un mapa continuo de $X$ a sí mismo. Dos puntos de $x,y\in X$ se dice que para ser proximal si por cualquier $\epsilon>0$, existe un entero positivo $n$ tal que $d(T^nx,T^ny)<\epsilon$. Un topológico sistema dinámico $(X,T)$ se llama proximal si cualquiera de los dos puntos $x,y\in X$ son proximal.

Ahora mi pregunta es: si un topológico sistema dinámico $(X,T)$ es proximal, es el producto de sistema de $(X\times X,T\times T)$ también proximal?

Tenga en cuenta que para demostrar que $(X\times X,T\times T)$ es proximal tenemos que demostrar que para dos puntos de $(x_1,x_2)$ $(y_1,y_2)$ $X\times X$ son proximal, es decir, para cualquier $\epsilon>0$, existe un entero positivo $n$ tal que $d((T^nx_1,T^nx_2),(T^ny_1,T^ny_2))<\epsilon$. Desde $X$ es proximal, sabemos que $x_1$ $y_1$ son proximal y $y_1$ $y_2$ son proximal. De modo que existe un entero positivo $n_1$ tal que $$d(T^{n_1}x_1,T^{n_1}y_1)<\epsilon$$ and an positive integer $n_2$ such that $$d(T^{n_2}x_2,T^{n_2}y_2)<\epsilon.$$ But that is not enough, since to show that $X\times X$ is proximal we need to show there exists a uniform $$ n, lo que significa que necesita encontrar un $n$ tal que $d(T^{n}x_1,T^{n}y_1)<\epsilon$$d(T^{n}x_2,T^{n}y_2)<\epsilon$.

Answer 1

La respuesta es ¡sí! Es un corolario directo de la siguiente teorema - Un sistema dinámico $(X,T)$ es proximal de la fib tiene un punto fijo que es el único subconjunto mínimo de $X$. Ver - http://iopscience.iop.org/0951-7715/16/4/313 - E. Similar y S. Kolyada, Li-Yorke sensibilidad, la no linealidad, 16 (2003), 1421--1433

Answer 2

No es la solución completa, pero algunos de los pensamientos que son demasiado grandes para caber en un comentario:

Para algunos fijos $x,y,\epsilon$, se puede considerar que la secuencia de $\{n_k\}_{x,y,\epsilon}$ de enteros positivos tal que $d(T^{n_k}x,T^{n_k}y)<\epsilon$. Esta pregunta es equivalente a (a través de algún tipo de estándar $\epsilon/2$ argumento) a mostrar que la $\{n_k\}_{x,y,\epsilon} \cap \{n_k\}_{z,w,\epsilon} \neq \emptyset$ todos los $x,y,z,w,\epsilon$.

La compacidad de $X$ restringe las secuencias de $\{n_k\}_{x,y,\epsilon}$ en dos maneras distintas en las que puedo ver. Ni es suficiente para conseguir lo que queremos (y que no combinan muy bien), pero ambos parecen sugerentes para mí.

• Desde $X$ es compacto, $T$ es uniformemente continua. Deje $\omega$ ser un uniforme de módulo de continuidad de las $T$. Mediante el establecimiento $\epsilon=\omega^m(\epsilon_0)$ en la definición de proximality, podemos encontrar una secuencia de $m$ enteros consecutivos en $\{n_k\}_{x,y,\epsilon_0}$; por lo tanto $\{n_k\}_{x,y,\epsilon}$ contiene arbitrariamente largas carreras de enteros consecutivos para todos los $x,y,\epsilon$. Si pudiéramos limitar cuando esto pasó (si, por ejemplo, proximality implícita un módulo de continuidad que no era demasiado horrible), esto podría ser útil...
• Deje $U_{n,\epsilon}=\{(x,y) \in X \times X \, | \, d(T^n x, T^n y) < \epsilon\}$. A continuación, $U$ está abierto (porque $T$, y, por tanto,$T^n$, es continua). Además, para cualquier fija $\epsilon$, la definición de proximality implica que el $U_{n,\epsilon}$ cubierta $X \times X$. Por lo que podemos pasar a un número finito subcover. Esto es, para cualquier $\epsilon$ existe un conjunto finito $\{m_1,\dots,m_k\}$ de los exponentes tal que $d(T^{m_i}x,T^{m_i}y)<\epsilon$ algunos $i<k$. Tenga en cuenta que si teníamos $k=1$, nos llevaría a cabo, por lo que, en cierto sentido, estamos a sólo finitely lejos de una solución...

Answer 3

Yo diría que sí. En primer lugar tenemos que definir una métrica en $(X\times X$), yo elegí la 2-norma. Llame a esta métrica d_p.

Por lo tanto, usted necesita demostrar que, dado un $\epsilon> 0,$ y dos puntos cualesquiera en el espacio del producto, $p_1=(x_1,y_1)$ y $p_2=(x_2,y_2)$, $\exists n$ s.t. $d_p(T^n p_1,T^n p_2)<\epsilon$ donde $T^np_1=(T^n x_1, T^n y_1)$ y así sucesivamente.

Pero, por definición, $d_p(p_1,p_2)=\sqrt{(d(x_1,x_2)^2+d(y_1,y_2)^2)}$

Ahora, todo lo que necesitas hacer es eligieron $n_1$ $n_2$ s.t. $d(T^{n_1}x_1,T^{n_1}x_2)<\epsilon/\sqrt 2$ $d(T^{n_2}y_1,T^{n_2}y_2)<\epsilon/\sqrt 2 $

Entonces eligió $n=max(n_1,n_2)$ y listo.