pregunta acerca de la suma directa de los campos vectoriales y conservación bajo cociente espacios

Question

Hola a todos me fue dada esta pregunta en el álgebra lineal es de dos piezas y le pide a probar o dar un contraejemplo. Nos han dado un espacio vectorial V y un subespacio de W y el cociente mapa $ \pi : V \to V/W $ se pide:

1. si $ V = V_1 \oplus V_2 $ $ V/W = \pi(V_1) \oplus \pi(V_2) $
2. si $ V/W = V_1 \oplus V_2 $ $ V = \pi^{-1}(V_1) \oplus \pi^{-1}V_2 $

He intentado pero puedo ni probar o venir para arriba con un contraejemplo para cualquiera de ellos. Puede alguien por favor que me ayude con esto? Gracias a todos

Answer 1

Contador de ejemplo para el primero:

En ${\mathbb{R}}^2$, vamos a $V_i=$ span$(e_i)$, e $W= \{c(1,1)^t\}$$c \in \mathbb{R}$. A continuación,$e_i + W \in \pi(V_i)$, e $(e_1+ W) = (-e_2 + W)$ (visualmente obvio), por lo que la intersección no es trivial, y $\pi(V_1)$ $\pi(V_2)$ no son independientes.

Para 2), vamos a $v_i \in \pi^{-1}(\pi(V_i))$, y asumir la $v_1+v_2= 0$. Luego también $$(v_1+W)+(v_2+W) = 0+ W$$ But as $\pi(V_1) \oplus \pi(V_2)$, the sum must be trivial, and so $v_1=v_2=0$. So we have independence. If $s\in V$, then also $y+W \V/W$, and so $$y+W = (v_1+W) + (v_2 + W)$$ with $v_i +W \ \ en \pi(V_i)$, and so $v_i \en \pi^{-1}(\pi(V_i))$. But then also $y= v_1 + v_2$ by the way cosets add in $V/W$. So we have $V$ is the sum of the $\pi^{-1}(\pi(V_1))$, y así también la suma directa.