Cómo demostrar a $a_{n} < 2$ si $\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{3^n}$

Question

Deje $(a_{n})_{n \geq1}$ ser una verdadera secuencia tal que $a_{1}=a_{2}=1$$\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n}}{3^n}, n\geq 1$.

Demostrar que $a_{n} < 2, \forall n \geq 1.$

Escribo $$\sum a_{k+2}-a_{k+1}=\sum \frac{a_{k}}{3}$$ y he obtenido :

$$3a_{n+2}=a_{1}+\ldots+a_{n}+3$$

o

$$a_{n}=\frac{a_{1}+\ldots+a_{n-2}+3}{3} < 2$$

Y lo que queda por demostrar es :

$$a_{1}+\ldots +a_{n-2} < 3,$$ pero a partir de este momento no sé cómo tengo que hacer.

Necesito una prueba sin derivados.

Gracias :)

Answer 1

Tenemos $$ a_1=a_2=1,\ a_3=a_2+\frac{a_1}{3}=\frac43<2. $$ Si asumimos que el $a_k<2$ todos los $k=1,\ldots,n$,$n \ge 3$, luego tenemos $$ a_{n+1}=a_2+\sum_{k=2}^n(a_{k+1}-a_k)=a_2+\sum_{k=2}^n\frac{a_{k-1}}{3^{k-1}}<1+\sum_{k=2}^n\frac{2}{3^{k-1}}=1+1-\frac{1}{3^{n-1}}<2. $$

Answer 2

Reclamo:

$$a_n < 2-\frac{1}{3^n} \,.$$

$P(1), P(2)$ son de fácil comprobación.

Inductivo paso:

$$a_{n+1}= a_{n+1}+\frac{a_n}{3^n} \leq 2-\frac{1}{3^{n+1}}- \frac{2-\frac{1}{3^n}}{3^n}=2-\frac{1}{3^{n+1}}- \frac{2}{3^n}+\frac{1}{9^n} $$

Si podemos probar que

$$2-\frac{1}{3^{n+1}}- \frac{2}{3^n}+\frac{1}{9^n} < 2-\frac{1}{3^{n+2}}$$ hemos terminado.

Pero esto es equivalente a

$$\frac{1}{3^{n+2}}+\frac{1}{9^n} <\frac{1}{3^{n+1}}+ \frac{2}{3^n}$$

lo que es obvio.

P. S. Esto es bastante estándar, pero no se conoce bien la técnica. Si $a_n$ va en aumento, a continuación, $a_n \leq C$ no puede ser probada directamente por inducción, pero uno podría ser capaz de encontrar una disminución en el $b_n \geq 0$, y luego demostrar por inducción el más fuerte reclamo

$$a_n < C-b_n \,.$$

El estándar bien conocido ejemplo de este fenómeno es

$$1+\frac{1}{2^2}+..+\frac{1}{n^2} <2 $$ vs $$1+\frac{1}{2^2}+..+\frac{1}{n^2} <2 -\frac{1}{n+1}$$

Answer 3

si asumimos que hay una generación de función, así que

$$ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} $$

a continuación, $ f(x) $ satisface la ecuación funcional

$$ f(x)-a_{0}-a_{1}x=f(x)x-a_{0}x+x^{2}f(x/3) $$

a partir de esto creo que se podría obtaien los derivados de lo $$ n!f^{(n)}(0)= a_{n} $$