Calcular $\sum\limits_{n=1}^\infty \arctan\left(\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n+1}(F_n+F_{n+2})}\right)$ donde $F_n$ $n$ésimo número de Fibonacci

Question

Calcular $\sum\limits_{n=1}^\infty \arctan\left(\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n+1}(F_n+F_{n+2})}\right)$ donde $F_n$ $n$ésimo número de Fibonacci.

Intento:

Pensé telescópico de la serie de método y de esta identidad.

$$\arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$$

Pero soy incapaz de encontrar una analogía, una sugerencia, o cualquier cosa.

Answer 1

Sugerencia.

La nave Cassini de la identidad lee $$(-1)^n=F_n F_{n+2}-F_{n+1}^2$$

El uso de este, el término general en el interior de su suma se convierte en $$u+v\over 1-uv$$

con $u=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$$v=-\frac{F_{n+1}}{F_{n}}$.