Cómo probar que la convexidad es condición necesaria esta pregunta? La necesidad de construir un ejemplo de sistema $A$ que $A+A=A$ pero $0 \notin cl(A)$. Desde el vinculado pregunta de la siguiente manera en que $A$ debe ser no-convexo.
Respuesta
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eljenso
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Deje $F_n$ el valor del $n^{th}$ número fibonacci, con un par de términos que tener valor no positivo de los subíndices, por lo que el $$F_{-2}=-1,\ F_{-1}=1,\ F_0=0,\ F_1=F_2=1,\ F_3=2,\ F_4=3,...$$ Definir los puntos de $v_n$ $xy$ plano por $$v_n=[(-1)^n F_{n-3},\ (-1)^n F_{n-1}],$$ de modo que $$v_1=[1,0],\ v_2=[1,1],\ v_3=[0,-1],\ v_4=[1,2],\ v_5=[-1,-3],\ v_6=[2,5],...$$ Tenga en cuenta que estos puntos tienen la propiedad de que $v_n=v_{n+1}+v_{n+2}$ por cada $n \ge 1$. De hecho ellos pueden ser generados a partir de esta relación, después de $n=2$, teniendo en $[1,0],\ [1,1]$ como los dos primeros puntos y a partir de entonces la definición de $v_n=v_{n-2}-v_{n-1}.$
Definir el conjunto $A$ en el avión, que consta de todos (finito) revestimiento de las combinaciones de la $v_n$ con entero no negativo de los coeficientes. A continuación,$A+A=A$. Esto es debido a que cada una de las $v_n$ es la suma de los dos siguientes, y $A$ es el cierre de la serie de $v_n$ bajo la suma.
Ahora el cierre de $A$ sólo puede contener enteros pares, así que para mostrar este cierre no contiene $[0,0]$ es la misma como muestra de que la $[0,0] \notin A.$
Supongamos que tenemos una relación no trivial
[1] $\sum_{k=1}^{m+1} c_k v_k=[0,0].$
A continuación, usando la relación $v_n=v_{n+1}+v_{n+2}$ podemos transformar la suma hasta que sólo implica el más alto de los dos índices de la suma, es decir, $k=m,m+1.$ En la transformación de la relación, los coeficientes siguen siendo positivo (sólo se añade tales coeficientes). Por lo que la relación [1] implicaría hay nonegative $x,y$ para los que $$x v_m + y v_{m+1}=[0,0]$$ Factorizando $\pm 1$ a partir de esta relación tenemos el lado izquierdo como $$x[F_{n-3},F_{n-1}]+y[-F_{n-2},-F_n]=[u,v],$$ donde$u=xF_{n-3}-yF_{n-2}$, mientras que el uso de la repetición de los números de fibonacci, $$v=xF_{n-3}+xF_{n-2}-yF_{n-2}-yF_{n-1}.$$ A continuación, $v-u=xF_{n-2}-yF_{n-1}.$ $[u,v]=[0,0]$ le siguen las dos ecuaciones $$xF_{n-3}-yF_{n-2}=0,\\ xF_{n-2}-yF_{n-1}=0.$$ Pero el determinante de este sistema es $-F_{n-3}F_{n-1}+F_{n-2}^2,$ de fibonacci de identidad dice que siempre es $\pm 1$. Esto implica que $x,y$ son ambos cero, lo que significa que la supuesta relación [1] fue trivial, después de todo.
Llegamos a la conclusión de que $[0,0]$ no está en el conjunto $A$, por lo que este es un ejemplo en dos dimensiones de un conjunto $A$ que $A+A=A$, y $[0,0]$ no está en el cierre de $A$.
