De prueba porque se prueba que la masa está viva;

Question

Considere las siguientes funciones en $L^2(-\pi,\pi)$:

$$ f_n(x)=\cos\big((n+1/2)x\big), g_k(x)=\sin(kx), n=0,1,\dots, k=1,2,\dots.$$

Estoy tratando de demostrar $\text{span}(f_n \cup g_k)$ es denso en $L^2(-\pi,\pi)$.

Ya sé que el estándar trigonométricas polinomios son densos, que es $\cos(nx),\sin(nx) $ forma completa ortonormales sistema.

¿Hay alguna forma fácil de reducir el problema a este hecho?

Una manera de demostrar que la densidad de la trigonométricas polinomios es el uso de Stone-Weierstrass teorema, pero aquí nuestro conjunto de "modificado" trigonométricas polinomios no forman un álgebra, por lo que no podemos usar el teorema directamente.

Algún consejo?

(La razón por la que estoy interesado en este conjunto específico de los generadores es la que surgen naturalmente como funciones propias de un operador diferencial).

Answer 1

Yo diría que la respuesta que han dado que las funciones son funciones propias de un selfadjoint operador diferencial es una buena respuesta. El operador $$ Lf = -f" $$ es un cerrado operador en el dominio $H^2(-\pi,\pi)$. Y es selfadjoint cuando además de restringir el acceso a las funciones de $f\in H^2$ para los que $$ \cos\alpha f(-\pi)+\sin\alpha f'(-\pi)=0 \\ \cos\beta f(\pi)+\sin\beta f'(\pi) = 0, $$ donde $\alpha,\beta$ son números reales. El operador $L_{\alpha,\beta}$ es selfadjoint en su subdominio de $H^2(-\pi,\pi)$; su espectro es discreto, con no finito punto de acumulación; cada punto en el espectro es un autovalor; y los subespacios propios son unidimensionales. La normalizado funciones propias formar una completa base ortonormales de $L^2(-\pi,\pi)$.

Las funciones de $\{\sin(kx)\}_{k=1}^{\infty}$ $\{ \cos((k+1/2)x) \}_{k=0}^{\infty}$ son las funciones propias de $\alpha = 0 = \beta$.

Otra manera de llegar a la misma base es mediante la observación de que $\{ \sin(nx)\}_{n=1}^{\infty}$ es una base ortogonal en $[0,\pi]$, debido a que cualquier $f\in L^2[0,\pi]$ se puede extender a una función impar en $[-\pi,\pi]$ y expandida en una serie de Fourier en $[-\pi,\pi]$ que implica únicamente la $\sin$ términos. Estas pecado funciones pueden agruparse en conjuntos de $\{ \sin(2nx)\}_{n=1}^{\infty}$ $\{ \sin((2n+1)x)\}_{n=0}^{\infty}$ y considerado en $[0,\pi]$. La sustitución de $x$ $x+\pi/2$ da una base sobre la $[-\pi/2,\pi/2]$ de la forma $\{ \sin(2nx) \}_{n=1}^{\infty} \cup \{ \cos((2n+1)x) \}_{n=0}^{\infty}$, que se considera equivalente a la$\{\sin(nx)\}_{n=1}^{\infty}\cup\{ \cos((n+1/2)x) \}_{n=0}^{\infty}$$[-\pi,\pi]$, que es el resultado deseado.

Answer 2

Contrariamente a algunas de las mitologías, en general no hay una forma sencilla de probar la integridad de un sistema ortogonal de la integridad de la otra.

Por ejemplo, es de suponer que usted tenía el Sturm-Liouville problema $u''=f$ con la condición de frontera de Dirichlet, es decir, la fuga (de $u$ e de $f$) en los extremos.

Básicos de Sturm-Liouville teoría (por ejemplo, un relevante Rellich compacidad lema aplicado a la resolvent, y entonces el teorema espectral para la compacta auto-adjunto operadores) demuestra que no existe una base ortogonal de funciones propias. (Como opuesto a cualquier espectro continuo.)

Por lo tanto, es suficiente para encontrar todas las funciones propias, ya que sabemos a priori que forman un sistema completo.

Es esta la respuesta a tu pregunta en un contexto razonable?

Answer 3

Vamos a demostrar que toda función continua $f$ $[-\pi, \pi]$ $f(-\pi)=f(\pi)=0$ puede ser uniformemente de forma aproximada mediante combinaciones lineales finitas de $\sin n x$$\cos \frac{2n+1}{2}x$. Suficiente para mostrar:

1. cada impar función continua en $[-\pi, \pi]$ $f(-\pi)=f(\pi)=0$ puede ser uniformemente de forma aproximada mediante combinaciones lineales finitas de $\sin n x$ .

2. cada función continua en $[-\pi, \pi]$ $f(-\pi)=f(\pi)=0$ puede ser uniformemente de forma aproximada mediante combinaciones lineales finitas de $\cos \frac{2n+1}{2}x$.

En primer lugar, recordemos la aproximación de Weierstrass teorema de que cualquier función continua $f$ $[\pi, \pi]$ $f(-\pi)=f(\pi)$ puede ser uniformemente de forma aproximada mediante combinaciones lineales finitas de $\cos nx$$\sin nx$. Esto implica 1. de inmediato ( promedio).

Considere ahora $f$ continua en $[\pi, \pi]$, incluso, $f(-\pi)=f(\pi)=0$. Podemos suponer, además, que $f$ es suave, ya que cualquier función continua puede ser aproximada por una suave con la misma simetría. La función de $f_1(x)\colon = f(x) - f(0) \cos \frac{x}{2}$ satisfacer también a $f_1(0)=0$. La función de $h(x)\colon = \frac{f_1(x)}{2\sin \frac{x}{2}}$ es suave, extraña, y satisface $h(-\pi)=h(\pi)=0$. Por lo tanto $h$ puede ser de manera uniforme aproximada por una combinación lineal de $\sin n x$. Por lo tanto, $f_1(x)$ puede ser aproximada por una combinación lineal de $2 \sin\frac{x}{2}\sin n x = \cos\frac{2n-1}{2}x-\cos\frac{2n+1}{2}x$.

Agregado: Las funciones $\sin nx$, $\cos \frac{2n+1}{2}x$ forman un sistema ortogonal como se puede comprobar fácilmente.

Considere la posibilidad de la expansión
$$f \sim \sum_{n\ge 1} (a_n \cos (n-\frac{1}{2})x + b_n \sin nx)$$

Tenemos $$\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n-\frac{1}{2})x=\int_{-\pi}^{\pi} (f(x) \cos \frac{x}{2}) \cos n x+ \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) \sin \frac{x}{2})\sin n x$$

Tenemos otro sistema ortogonal en $[-\pi, \pi]$ consta de las funciones $1$ y $\cos nx$, $\sin(n-\frac{1}{2})x$ para $n\ge 1$. Podemos demostrar que el Parseval igualdades son válidos simultáneamente ambos sistemas, que es otra forma de demostrar su integridad. La prueba utiliza la integridad de $1$, $\cos nx$, $\sin nx$ y la correspondiente Parseval igualdades para $f(x) \sin \frac{x}{2}$, $f(x)\cos\frac{x}{2}$ cuya suma de cuadrados es igual a $f^2(x)$.