Comparar las alturas de los dos puntos medios de un triángulo hiperbólico

Question

Que $\Delta ABC$ sea un triángulo en Geometría hiperbólica. Supongamos que los puntos medios de $AB$ y $AC$ están $E$ y $F$ respectivamente. ¿Entonces podemos comparar el sus distancias al base $BC$? ¿En otras palabras, podemos comparar las "alturas" de estos dos puntos medios? ¿Son iguales?

Supongo que están relacionadas a la longitud de $AB$ y $AC$, pero no estoy muy claro la relación precisa.

Answer 1

Con un ligero cambio en la notación, consideran que esta figura:

donde$b := \frac12|\overline{AC}|$$c := \frac12|\overline{AB}|$.

Todo lo que necesitamos es la Ley de los Senos y el Ángulo Doble Fórmula para el Seno.

$$\begin{align} \triangle ABC\;:&\quad \frac{\sin B\;}{\sin C\;} = \frac{\sinh 2b}{\sinh 2c} = \frac{2\sinh b \cosh b}{2\sinh c\cosh c} \quad\to\quad \frac{\sin B \sinh c}{\sin C \sinh b} = \frac{\cosh b}{\cosh c} \\[4pt] \triangle BPP^\prime:&\quad \frac{\sin B\;}{\sin P^\prime} = \frac{\sinh p}{\sinh c} \quad\to\quad \sin B \sinh c = \sinh p \\[4pt] \triangle CQQ^\prime:&\quad \frac{\sin C\;}{\sin Q^\prime} = \frac{\sinh q}{\sinh b} \quad\to\quad \sin C \sinh b = \sinh q \end{align}$$ Por lo tanto,

$$\frac{\sinh p}{\sinh q} = \frac{\cosh b}{\cosh c} $$

Como uno podría esperar, las "alturas" $\overline{PP^\prime}$ $\overline{QQ^\prime}$ son congruentes si y sólo si $\triangle ABC$ es isósceles con el vértice $A$. $\square$

Answer 2

Voy a llamar a los ángulos $\alpha$ a $A$, $\beta$ en $B$, e $\gamma$$C$ . La ley de los cosenos nos da los ángulos en los términos de la orilla longitudes:

$$\cosh AC = \cosh AB\cosh BC - \sinh AB\sinh BC\cos\beta$$ $$\cos\beta = \frac{\cosh AB\cosh BC - \cosh AC}{\sinh AB\sinh BC}$$

y lo mismo para $\alpha$$\gamma$ .

Construir una línea de $\overline{EG}$ perpendicular a la base $\overline{BC}$,$G$$\overline{BC}$. A continuación, aplicar la ley de los senos al triángulo rectángulo $\Delta BEG$ :

$$\frac{\sinh EG}{\sin\beta} = \frac{\sinh BE}{\sin\frac\pi 2} = \sinh BE$$

El cuadrado y la aplicación de identidades trigonométricas,

$$\sinh^2 EG = \sinh^2 BE\sin^2\beta$$ $$= \frac{\cosh(2BE) - 1}{2}(1 - \cos^2\beta)$$

Punto de $E$ es el punto medio de la $\overline{AB}$, lo $2BE = AB$ . Y podemos usar esa otra ecuación para $\cos\beta$ :

$$\sinh^2 EG = \frac{\cosh AB-1}{2}\left(1-\left(\frac{\cosh AB\cosh BC-\cosh AC}{\sinh AB\sinh BC}\right)^2\right)$$

Y eso es todo! Usted puede simplificar o ampliar esto un poco, pero esto le da a la altura de $E$ en términos del triángulo original del borde de longitudes. Y por simetría, en sustitución de $\{B,E,G,\beta\}$$\{C,F,H,\gamma\}$,

$$\sinh^2 FH = \frac{\cosh AC-1}{2}\left(1-\left(\frac{\cosh AC\cosh BC-\cosh AB}{\sinh AC\sinh BC}\right)^2\right)$$

Un ejemplo de cálculo muestra que $EG$ $FH$ no son iguales en general. He utilizado $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$; a continuación,$\sinh^2 EG \approx 0.28$ , pero $\sinh^2 FH \approx 0.11$ . Pero son aproximadamente iguales, con pequeñas distancias: $AB=0.03$, $AC=0.04$, $BC=0.05$; a continuación,$\sinh^2 EG \approx 0.00014396$, e $\sinh^2 FH \approx 0.00014394$ .

Answer 3

Una prueba sin ningún tipo de cálculos reales (sólo algunos intuición acerca de las hiperbólico espacios) que ellos no pueden ser iguales:

Una propiedad importante de los espacios hiperbólicos es que todos los triángulos son $\delta$-delgado, es decir, existe una $\delta$ de manera tal que cualquier punto en el borde de la $AC$ es en la distancia en la mayoría de las $\delta$ desde uno de los bordes de la $AB$ o $BC$. Esto significa que hiperbólico, los espacios son muy similares a los árboles (ver, por ejemplo, la Wikipedia para obtener más información y detalles).

Ahora, considere un triángulo $ABC$ donde $AB=AC=d$ y el ángulo en el $B$ es un ángulo recto. El punto medio de $AB$ ($E$) será en la distancia $d/2$ desde la línea de $BC$, desde el ángulo de $ABC$ es correcto. Ahora, el punto medio de $AC$ ($F$) es en la distancia de no más de $\delta$ desde $AB$ o $BC$; sin embargo, debido a la simetría de sus distancias a $AB$ $BC$ son iguales, por lo tanto, la distancia de $F$ $BC$ no es más que $\delta$. Desde $d$ puede ser arbritrarily grande, tenemos $d(F,BC) < \delta < d < d(E,BC)$.

(Si usted está más familiarizado con el disco de Poincaré modelo de $\delta$-delgado triángulos, esto también puede ser visto fácilmente por poner $B$ en el centro del disco, y también un muy grande a la derecha triángulo isósceles.)