Matriz raíces cuadradas de-

Question

Ya podemos ver las matrices como generalizaciones de los números complejos, que me pregunto si hay una manera de clasificar aquellas matrices que son la "Base" para la parte compleja. Que es, me gustaría para identificar el conjunto de $n\times n$ real de los valores de las matrices de $M$ cuyo cuadrado $M^2$ es igual a $-I$ donde $I$ $n\times n$- matriz de identidad. Es este conjunto ya clasificados?

La matriz $J = \left( \begin{smallmatrix}0 & -1\\1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ satisface $J^{2} = -I$ en el 2-dimensional caso.

EDITAR:

Gracias a sus comentarios y respuestas que tiene la siguiente observación (si su mal, por favor que me lo diga):

Supongamos que $M$ cumple que $M^t=-M$, entonces podemos observar dos vectores $x,y\in\mathbb{R}^{2n}$ que

$y^tAx=(Ax)^{t}y=x^{t}A^ty=-x^tAy$

Mi interpretación es que si el ángulo entre la $x$ $Ay$ $\alpha$ $\pi+\alpha$ es el ángulo entre el$Ax$$y$, ya que el ${\displaystyle \cos \;x=-\cos(x+\pi )}$ (aquí suponemos que la longitud de los vectores no son relevantes). Ahora si $y=x$ y, a continuación, podemos ver que $Ax$ es ortogonal a $x$.

Es cierto que $A^2$ será un giro de 180 grados, a la derecha? Debido a la longitud del vector vamos a tener algo como $A^2=-CI$ donde $C$ es sólo una constante. Es eso cierto?

Answer 1

Aquí está una solución para el caso de $n=2$ (demasiado tiempo para los comentarios, lo siento):

Usando la condición determinante dio en los comentarios, y dejar $$A = \begin{pmatrix} a{11} & a{12} \ a{21} & a{22} \end{pmatrix}$ $ tenemos coeficientes de comparación $$\det(tI-A) = t^2-a{22}t-a{11}t+a{11}a{22}-a{12}a{21} = t^2+1$ $ da $-a{11}=a{22}$ y $a{11}a{22}-a{12}a{21}=1$. Reorganizar un poco da el % de matriz $$ A = \begin{pmatrix} a{11} & \frac{-a{11}^2-1}{a{21}} \ a{21} & -a{11} \end{pmatrix} $$ $a{21} \in \mathbb{R}, a{21} \neq 0$ y $a{11} \in \mathbb{R}$. Por lo que en el caso del ejemplo que diste, $a{11}=0$ y $a{21}=1$.

Answer 2

Usted podría estar interesado en estructuras complejas en verdaderos espacios vectoriales.

La idea básica es esta: supongamos que tengo un complejo espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$. Si se me olvida cómo multiplicar por $i$, y sólo utilizar los escalares que son reales, entonces $V$ es también un espacio vectorial real de dimensión $2n$ (vamos a llamar a esta $V_{\mathbb{R}}$, para que quede claro que me he olvidado algo complejo). Una pregunta interesante es: ¿qué exactamente me olvido cuando me olvidé de cómo multiplicar por $i$? Puedo recordar para más tarde, y volver a mi original complejo espacio vectorial?

En el complejo espacio vectorial $V$, no es lineal en el mapa de $J: V \to V$ que es la multiplicación por $i$, definido por $Jv = iv$. De hecho, este mapa es $\mathbb{R}$-lineal, lo que proporciona un lineal mapa de $J: V_\mathbb{R} \to V_\mathbb{R}$. Podemos comprobar que el $J^2v = i^2v = -v$, y por lo $J^2 = -\mathrm{id}_V$. Este mapa $J$ es exactamente lo que nos olvidamos cuando nos olvidamos de cómo multiplicar por $i$: si tengo un vector $v \in V_{\mathbb{R}}$ y quiere escalar por $(a + bi)$, entonces yo uso $(a \,\mathrm{id}_V + bJ)v$.

Su pregunta es, esencialmente, va por el camino opuesto: a partir de una $2n$-dimensiones reales espacio vectorial $W$, ¿cuál es el tipo de mapas $J: W \to W$ tal que $(W, J)$ se convierte en un complejo espacio vectorial con la acción $(a + bi)w = (a \, \mathrm{id}_W + bJ)w$.

Answer 3

Si queremos avanzar, tendrás que leer algunos libros...

Las matrices $M\in M_2(\mathbb{R})$ s.t. $M^2=-I_2$ son similares a los de su $J$ (hay una infinidad de tales matrices).

Sin embargo, si se considera que el $\mathbb{R}^2$ es la euclídea (con un producto interior), entonces es natural considerar las soluciones de $M$ que son normales ($MM^T=M^TM$). A continuación, usted encontrará sólo $2$ soluciones: $\pm J=Rot(\pm \pi/2)$, que son desfase-simétrica. Si tenemos en cuenta el isomorfismo $f:a+ib\in \mathbb{C}\rightarrow \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=aI+bJ\in M_2(\mathbb{R})$, $\pm J=\pm f(i)$ (cf. el Joppy del post). Por supuesto, si $M$ es sesgar-simétrica ( $a=0$ ),$M^2=-b^2I$; sin embargo, es falso cuando $n>2$.

Ahora, en la dimensión $2n$, las matrices s.t. $M^2=-I_{2n}$ son similares a $diag(J_1,\cdots,J_n)$ donde $J_k=J$.

En la distancia euclídea caso, donde $M$ es normal, entonces las soluciones son desfase-simétrica y en la forma $Pdiag(J_1,\cdots,J_n)P^T$ donde $P$ es una matriz ortogonal, es decir $\mathbb{R}^{2n}$ es ortogonal suma de $n$ planos de $\Pi_k$ s.t., sobre cada una de las $\Pi_k$, la transformación lineal es $Rot(\pm \pi/2)$.