Si $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$, demostrar que $\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$

Question

<blockquote> <p>Si $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$, demostrar que $\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$</p> </blockquote> <p><strong>Mi intento de</strong> $$ \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{2y}{2\sqrt{1-y^2}}.\frac{dy}{dx}=a-a\frac{dy}{dx}\\ \implies \frac{dy}{dx}\bigg[a-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\bigg]=a+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{a\sqrt{1-x^2}+x}{\ sqrt{1-x^2}}.\frac{\sqrt{1-y^2}}{a\sqrt{1-y^2}+x}=\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}.\frac{a\sqrt{1-x^2}+x}{a\sqrt{1-y^2}-y} $$</p> <p>¿Cómo me poceed más y encontrar el derivado?</p>

Answer 1

Ambos $x,y\in[-1,1]$. Así, $x=\sin\theta$ y $y=\sin\phi$ $\displaystyle \theta,\phi\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Tenga en cuenta que $\cos\theta, \cos\phi\ge0$.

Tenemos %#% $ #%

Así, $$\cos\theta+\cos\phi=a(\sin\theta-\sin\phi)$ $

$$2\cos\frac{\theta+\phi}{2}\cos\frac{\theta-\phi}{2}=2a\cos\frac{\theta+\phi}{2}\sin\frac{\theta-\phi}{2}$ es una constante. Así, $\displaystyle \tan\frac{\theta-\phi}{2}=\frac{1}{a}$.

$\displaystyle \frac{d\phi}{d\theta}=1$$

Answer 2

Después de mi comentario obtendrá $ de $$a\sqrt{1-x^2}+x=\frac{1-xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}}{x-y}$ y $$a\sqrt{1-y^2}-y=\frac{1-xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}}{x-y}$ $ y usted conseguirá el resultado deseado!

Answer 3

Sugerencia: no hay ningún parámetro $a$ en la fórmula para ser probada. Así, en primer lugar transformar la ecuación inicial en una ecuación donde $a$ será inmediatamente eliminada por diferenciación: diferenciar $$\frac{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}}{x-y}=a$ $ y simplificar.

Answer 4

Hacia el lado izquierdo para hacer $a(x-y)$ a $F(x,y)=0$. Entonces: $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-a}{-\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}+a}=\frac{a\sqrt{1-x^2}+x}{a\sqrt{1-y^2}-y}\cdot \frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}},$ $ ya: $$\begin{align}&\frac{a\sqrt{1-x^2}+x}{a\sqrt{1-y^2}-y}= \ &1 \iff a(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-y^2})=-(x+y) \iff a(y^2-x^2)= \ &-(x+y)(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}) \iff a(x-y)=\ &\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}.\end {Alinee el} $$