Coeficientes de estructura de un cofrade

Question

Del libro de texto "Introduction to General Relativity, Black Holes & Cosmology" de Yvonne Choquet-Bruhat, p.10:

En una cofradía en movimiento en un dominio $U$ los diferenciales de las formas 1 $\theta^i$ están dadas por:

$$d\theta^i \equiv -\cfrac{1}{2} C^i_{jk} \theta^j \wedge \theta^k$$

Demuestre que los coeficientes de estructura de un cofrade $\theta^i := a^i_j dx^j$ están dadas por:

$$ C^i_{hk} \equiv A^j_k\partial_ha^i_j-A^j_h\partial_k a^i_j$$

Donde $A$ es la matriz inversa de $a$ .

$\underline{\text{An attempt at the solution:}}$

$$ d\theta^i = da^i_j \wedge dx^j \\ = \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k} dx^k \wedge dx^j \\ = -\frac{\partial a^i_j}{\partial x^k} dx^j \wedge dx^k \\ = - \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k} (A^j_l \theta^l) \wedge (A^k_m \theta^m ) \\ = - [\frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_lA^k_m]\theta^l\wedge\theta^m \\ \implies C^i_{lm} = 2 \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_lA^k_m $$

Lo cual es claramente incorrecto ya que sólo tengo un único término en mi resultado; ¿dónde está el error en mi trabajo?

Answer 1

No hay nada malo en tu cálculo. En el libro, el autor distingue $\partial_i$ con $\frac{\partial}{\partial x^i}$ , de la siguiente manera : Mientras que $\frac{\partial}{\partial x^i}$ es la derivada parcial habitual con respecto a $x^i$ coordenada, el símbolo $\partial_i$ se utiliza como los componentes de las derivadas exteriores de una función cuando expresamos $df$ en cofradía $\theta^i$ , llamó a $\partial_i$ como "Las derivadas pfaffianas". Es decir (en la misma página, antes de la ecuación $I.4.2$ ) $$ df \equiv \partial_if \, \theta^i. $$ Así que ahora tienes una opción para encontrar $df$ . Primero como se hace $df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i$ o puede utilizar $df = \partial_if \, \theta^i$ . Así que ahora $$ d\theta^i = d(a^i_j dx^j) = da^i_j \wedge dx^j = (\partial_ka^i_j \, \theta^k \wedge dx^j) = \partial_ka^i_j \, \theta^k \wedge (A^j_l \theta^l) = A^j_l \partial_ka^i_j \, \theta^k \wedge \theta^l. $$ Como dijo @JohnMa, la expresión $d\theta^i = -\frac{1}{2}C^i_{kl} \, \theta^k \wedge \theta^l $ está en la forma antisimétrica de $d\theta^i$ . Así que tomamos la antisimetrización para $d\theta^i = A^j_l \partial_ka^i_j \, \theta^k \wedge \theta^l$ como \begin{align} d\theta^i &= \frac{1}{2}(A^j_l \partial_ka^i_j - A^j_k \partial_la^i_j) \theta^k \wedge \theta^l + \frac{1}{2}(A^j_k \partial_la^i_j-A^j_l \partial_ka^i_j ) \, \theta^l \wedge \theta^k \\ &= -\frac{1}{2}C^i_{kl} \, \theta^k \wedge \theta^l \end{align} Así que $$ -\frac{1}{2}C^i_{kl} = \frac{1}{2}(A^j_l \partial_ka^i_j - A^j_k \partial_la^i_j) \implies C^i_{kl} = A^j_k \partial_la^i_j - A^j_l \partial_ka^i_j $$ Tenga en cuenta que este resultado $C^i_{hk}=A^j_h \partial_ka^i_j - A^j_k \partial_ha^i_j$ es diferente (invertido $h$ y $k$ ) con el que se da en el libro, es decir $C^i_{hk}=A^j_k \partial_ha^i_j - A^j_h \partial_ka^i_j$ . Si se está pasando por un cálculo anterior en el libro, sobre $d^2f$ , encontrarás que la eq. dada en el libro $C^i_{hk}=A^j_k \partial_ha^i_j - A^j_h \partial_ka^i_j$ no coincide, lo que significa que probablemente hay errores tipográficos (índices $h,k$ están invertidos) allí. Debería ser $C^i_{hk}=A^j_h \partial_ka^i_j - A^j_k \partial_ha^i_j$ .

Answer 2

Se entiende comúnmente que cuando se escribe (en general para una forma de dos)

$$ \alpha = \alpha_{ij} \theta^i \wedge \theta^j \ \ \left( = \sum_{i,j} \alpha_{ij} \theta^i \wedge \theta^j\right), $$

se supone que $\alpha_{ij}$ satisface $\alpha_{ij} = -\alpha_{ji}$ . De hecho, si no es así, el "coeficiente" $\alpha_{ij}$ no está bien definido: por ejemplo, $\alpha = \theta^1\wedge \theta^2$ también puede escribirse como

$$\alpha = 3 \theta^1 \wedge \theta^2 + 2 \theta^2 \wedge \theta^1.$$

que le daría diferentes $\alpha_{ij}$ .

Es decir, para tener un "coeficiente" significativo, siempre los antisimétricos: escribimos

\begin{align} \alpha &= b_{ij} \theta^i \wedge \theta^j + b_{ji} \theta^j \wedge \theta^i \\ &= (b_{ij} - b_{ji})\theta^i \wedge \theta^j \\ &= \left( \frac{b_{ij} - b_{ji}}{2}\right)\theta^i\wedge \theta^j + \left( \frac{b_{ji} - b_{ij}}{2}\right)\theta^j \wedge \theta^i. \end{align}

En tu situación,

$$ b_{lm} = -\frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_lA^k_m$$

por lo que debe obtener

$$-\frac 12 C^i_{lm} = \frac{b_{lm} - b_{ml}}{2}=-\frac{1}{2} \left(\frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_lA^k_m - \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_mA^k_l\right), $$

o

\begin{align} C^i_{lm} &= \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_lA^k_m - \frac{\partial a^i_j}{\partial x^k}A^j_mA^k_l\\ &=\partial_m a^i_jA^j_l - \partial_l a^i_jA^j_m. \end{align}