¿Por qué no los caracteres determinan el grupo?

Question

Motivación/Contexto

Buscando en grupos finitos $G$. Por supuesto, la tabla de caracteres es (hasta permutación de filas y columnas), determinado por $G$ hasta isomorfismo. Pensé acerca de por qué el recíproco no es cierto (pregunta 1)?

Pregunta 2

Dado un conjunto completo de caracteres de un grupo finito $G$, pero no al grupo de la tabla (o generadores). ¿Qué es exactamente la cantidad mínima de información que falta, es necesario determinar el grupo $G$ (es decir, la tabla del grupo) hasta el isomorfismo, de forma exclusiva?

Propios esfuerzos

He estado buscando en el famoso ejemplo de los cuaterniones grupo $Q$ y el diedro grupo $D_4$. Tienen hasta permutación de filas y elementos de la misma tabla de caracteres. Sin embargo, no están de acuerdo en el orden. Entiendo que una gran parte de la información necesaria para determinar el grupo de la tabla hasta el isomorfismo debe estar contenida en la tabla de caracteres, pero no puedo precisar lo que es exactamente la información que falta en el caso general.

Answer 1

Una posible respuesta es dada por el siguiente papel.

Hoehnke, H.-J.; Johnson, K. W. La 1-, 2-y 3-los personajes de determinar un grupo. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. (N. S.) 27 (1992), no. 2, 243-245.

Aquí está una breve explicación. Para un carácter $\chi$ de un grupo finito $G$, definir el correspondiente $2$-carácter $\chi^{(2)} : G \times G \rightarrow \mathbb{C}$ por $$\chi^{(2)}(x,y) = \chi(x)\chi(y) - \chi(xy)$$ for all $x, y \in G$. We also define the corresponding $3$-character $\chi^{(3)}: G \times G \times G \rightarrow \mathbb{C}$ by $$\chi^{(3)}(x,y,z)=\chi(x)\chi(y)\chi(z)−\chi(x)\chi(yz)−\chi(y)\chi(xz)−\chi(z)\chi(xy)+\chi(xyz)+\chi(xzy)$$ for all $x, y, z \in G$.

Hay definiciones similares de $k$-caracteres $\chi^{(k)}$ y estos se remontan a Frobenius. Un papel de Formanek y Sibley de 1991, se observa que el grupo determinante determina $G$. Una consecuencia de esto es que el $G$ está determinado por su irreductible de caracteres $\chi$ e sus $k$-caracteres $\chi^{(k)}$.

En su artículo, Hoehnke y Johnson mejoró esto muestra que la irreductible caracteres $\chi$ a lo largo de con $\chi^{(2)}$ $\chi^{(3)}$ eran suficientes para determinar la $G$:

Teorema. Deje $G$ ser un grupo finito con complejo irreductible caracteres $\chi_1$, $\ldots$, $\chi_t$. A continuación, $G$ se determina hasta el isomorfismo por el $\chi_i$, $\chi_i^{(2)}$, $\chi_i^{(3)}$, $1 \leq i \leq t$.

En un sentido, este resultado es óptimo, ya que en el siguiente trabajo de Johnson y Sehgal muestran que el conocimiento de $\chi$ $\chi^{(2)}$ no determina el $G$ en general.

Johnson, Kenneth W.; Sehgal, Surinder K. 2-tabla de caracteres no determinar un grupo. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 119 (1993), no. 4, 1021-1027.

Answer 2

Los siguientes documentos pueden ser de interés

1. Sandro Mattarei. Tablas de caracteres y grupos metabelianos. J. Londres matemáticas. Sócrates (2) 46 (1992), núm. 1, 92-100.
2. Sandro Mattarei. Un ejemplo de $p$ grupos con tablas de caracteres idénticos y diferentes derivados longitudes. Matemáticas de arquitecto. (Basilea) 62 (1994), no. 1, 12-20.
3. Sandro Mattarei. En tablas de caracteres de los productos de la guirnalda. J. álgebra 175 (1995), núm. 1, 157-178.