Todavía luchando para comprender verdades vacuas

Question

Yo sé, yo sé, hay un montón de preguntas sobre esto-yo he leído de todo, que se siente. No entiendo por qué la $(F \implies F) \equiv T$$(F \implies T) \equiv T$.

Uno de los mejores ejemplos que vi fue mostrando cómo, si usted comienza con una premisa falsa como $3=5$, entonces se puede obtener todo tipo de frases que son verdaderas como $8=8$, pero también falso como $6=10$, por lo tanto $F \implies T$ es cierto, pero también lo es $F \implies F$.

Pero para mí ejemplos no siempre lo hago para mí, porque ¿cómo puedo saber si la relación siempre se mantiene incluso fuera del ejemplo? A veces, los ejemplos no son lo suficientemente generalizado.

A veces la gente dice "Bueno, ( $p \implies q$ ) es equivalente a $\lnot p \lor q$, de modo que usted puede probar de esa manera!" excepto llegamos a que la representación de la tabla de verdad en el primer lugar de la forma normal disyuntiva de modo que el argumento es circular y no me resulta convincente.

A veces la gente va a usar analogías como "Bien asumir que hemos cambiado el nombre de esos dos "vacuo de los casos" los otros tres maneras, $F/F, F/T, T/F$ -- ver cómo los resultados finales no tienen sentido?" Seguro, pero T/T no tiene ningún sentido para mí, así que no veo por qué este es un buen argumento. Sólo porque los otros tres son tontas, no me digas por qué T/T no es tonto.

Otras veces veo "Bueno, es sólo define de esa manera porque es útil"... con ejemplos de cómo es realmente útil y por qué no habríamos de hacerlo con algún otra definición. Entonces esto nos lleva a la inevitable contador-respondedores, que insisten en que no es la mera definición de conveniencia sino una consecuencia de otras reglas en el sistema y así sucesivamente, añadiendo a la confusión.

Así que estoy esperando para saltar todos los que: existe alguna otra forma de demostrar sin lugar a dudas que la $(F \implies q) \equiv T$?

Answer 1

Nunca he estado satisfecho con la definición de la implicación material en el contexto de la lógica proposicional solo. Las únicas cosas realmente importantes en el contexto de la lógica proposicional se que $T \Rightarrow T$ es verdadera y $T \Rightarrow F$ es falso. Se siente como la verdad de los valores de $F \Rightarrow T$ $F \Rightarrow F$ simplemente no están especificados por nuestra intuición acerca de la implicación. Después de todo, ¿por qué debería "si el cielo es de color verde, luego las nubes son de color rojo" ser verdadero?

Pero en la lī ogica, las cosas son diferentes. En la lī ogica, nos gustaría ser capaces de decir $\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$ $x$'s para que $P(x)$ es falso no interferir con la verdad de la declaración.

Considere, por ejemplo, "entre todos los números enteros, todos los múltiplos de $4$ son aún". Que el enunciado es verdadero, aunque es $1$ no es uniforme. También es cierto, aunque lo $2$ es aún a pesar de no ser un múltiplo de $4$.

Pero ahora, en la lógica clásica, cada proposición tiene un único valor de verdad. Por lo tanto la única forma de definir $\forall x R(x)$ "para cada $x$, $R(x)$ es cierto". No se pueden definir en alguna otra forma, como "para cada $x$, $R(x)$ es verdadero o $R(x)$ es demasiado absurdo tener un valor de verdad". Por lo tanto estamos atrapados definición de $F \Rightarrow T$ $F \Rightarrow F$ ambos, de ser cierto, si $\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$ va a comportarse de la manera que queremos.

En un sistema diferente de la lógica, podríamos hacer las cosas de manera diferente. Pero en la lógica clásica, "cada proposición tiene un valor de verdad" es, básicamente, un axioma.

Answer 2

Dado que queremos que el $\rightarrow$ para capturar la idea de un ' si... entonces... ' declaración, parece razonable insistir en que $P \rightarrow P$ es una declaración verdadera, no importa qué $P$ es, y así no importa lo que truth-value $P$ ha.

Por lo tanto, si $P$ es False, entonces obtenemos $\boxed{F \rightarrow F = T}$

Asimismo es razonable insistir en que $(P \land Q) \rightarrow P = T$, otra vez no importa de qué $P$ y $Q$.

Por lo tanto, si $P$ es True, y $Q$ es False, obtenemos: $(T \land F) \rightarrow T = \boxed{F \rightarrow T = T}$

Answer 3

Otras veces veo "Bueno, es sólo define de esa manera porque es útil"... con ejemplos de cómo es realmente útil

OK, entonces vamos a dar un ejemplo de un caso de uso. Soy un programador de computadoras por el comercio, pero también estoy preocupado con el meta-problema de cómo sabemos cuando un programa es correcto. Es decir, yo uso estático de análisis para entender los programas; "implica", como lo define es extremadamente útil en este análisis.

Supongamos que tengo una lista de orders y una referencia a un customer, y sé que si la referencia es válida, a continuación, la lista contiene al menos un pedido:

if (customer != null)
{
  Assert(orders.Count() > 0);
  Print(orders.First());
}

"Afirmar" se bloquea el programa si la condición es falsa.

Vamos a llamar a un programa de ordenador que se bloquea una "F" en el programa y que se ejecuta sin que se caiga una "T" del programa.

Ahora echemos un vistazo a la tabla de verdad de este pequeño fragmento de programa.

cust != null  orders.Count() > 0  Program classification
-----------------------------------------------------
True          True                 T -- because the assertion succeeds
True          False                F -- because the assertion crashes
False         True                 T -- because the assertion never runs at all
False         False                T -- because the assertion never runs at all

Ahora supongamos que tenemos un implies operador en este idioma. Queremos ser capaces de volver a escribir nuestro programa como

Assert(customer != null  implies  orders.Count() > 0);
if (customer != null)
{
  Print(orders.First());
}

sin cambiar la categorización del programa. En el fin de mantener el sentido del programa, la tabla de verdad del operador binario A implies B debe ser el mismo que (NOT A) OR B.

Es por eso que "implica" como se define es útil. Nos permite razón precisa y concisa acerca de la corrección de los programas de ordenador que contienen instrucciones condicionales.

Ahora, uno podría argumentar que "implica" es la palabra adecuada para usar, ya que "implica" está impregnada de sentido que usted piensa que no coincide con esta tabla de verdad. Pero eso es un hecho acerca de su intuición; no cambia el hecho de que este operador es útil como se define para el razonamiento lógico para la corrección de programas.

Answer 4

En este caso, es probablemente una buena idea para pensar (clásica) implicación de la inclusión en el siguiente sentido:

$\varphi \Rightarrow \psi$ sostiene que si el conjunto de los testigos de $\varphi$ es un subconjunto de los testigos de $\psi$.

Un ejemplo:

Si un número natural es un primo mayor que $2$, entonces el número es impar.

Esto equivale a decir que el conjunto de los números primos mayores que $2$ es un subconjunto de los números naturales impares.

El conjunto de los testigos de $\textsf{false}$ es el conjunto vacío $\emptyset$.

En consecuencia, $\textsf{false} \Rightarrow \psi$ es verdadera si $\emptyset$ es un subconjunto de los testigos de $\psi$. Y esto es, por supuesto, siempre el caso.

Answer 5

En primer lugar, creo que la manera de "implicación" se define es una convención-no puedo imaginar una prueba de que la implicación debe ser definida de la manera que es. Supongo que se modela después de la forma en que la gente tradicionalmente pensar acerca de "si..., entonces..." declaraciones.

Así que, aquí está lo que yo pienso acerca de ello.

Supongamos que yo digo,

Si llueve, voy a dejar de pedir prestado un paraguas.

Ahora, si no llueve, podría haber mentido? Creo que, la única manera en que mi declaración no puede ser considerada como falsa, es cuando llueve, sin embargo, yo no doy mi paraguas. Y puesto que las expresiones lógicas son siempre verdaderas o falsas, las declaraciones que no son falsas deben ser verdadero (en este caso "la lluvia, y dar paraguas" y "no es la lluvia, y [dar o no dar]").

Entonces, yo creo que de vacuo de la verdad como una especie de "abogado de la verdad" (lo siento, todos los abogados!); nadie técnicamente mentido, así que estaremos de acuerdo en que se le dijo la verdad.

De todos modos, todo el "vacío de la verdad" el negocio de discutible para mí personalmente, porque sólo he realmente se preocupaba por el uso de implicaciones a la hora de demostrar cosas, y esto requiere de modus ponens; una vez que sepamos $P$,$P \implies Q$, sabemos que $Q$ también se aplica. Así que, no me parece que un montón de uso de $P \implies Q$ declaraciones, al $P$ no es cierto.