Necesito ayuda para comprender un paso en la derivación de la solución de Schwarzschild

Question

Estoy buscando en la Wikipedia el artículo sobre la derivación de la solución de Schwarzschild. En la sección "la Simplificación de los componentes", dice,

En el hypersurfaces de constante $t$ y constante $r$, es necesario que la métrica de una 2-esfera:

$$dl^2=r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$

Mi pregunta es: ¿por qué la métrica tiene que ser de esta particular de la 2-esfera con un coeficiente de $r^2$? No estamos necesariamente ocupan el espacio Euclidiano aquí.

Answer 1

Si usted desea, usted puede usar el ansatz:

$$ds^{2} = -A(r) dt^{2} + B(r) dr^{2} + 2C(r)\,dt\,dr + f(r)\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$$

Donde las funciones depende sólo de $r$, debido al hecho de que $t$ genera una simetría del espacio-tiempo -- usted está asumiendo una estática en el espacio-tiempo.

Nota, sin embargo, que usted es libre arbitrariamente cambiar la escala de $r$. Bueno, si usted elige $R = \sqrt{f(r)}$, entonces este es reescrita en la forma

$$ds^{2} = -A'(R) dt^{2} + {\hat B}(R) dR^{2} + 2C'(R)\,dt\,dr + R^{2}\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$$

Donde el primer denota que usted tiene que alimentar a $f^{-1}(R^{2})$ en la función, y ${\hat B} = B'(R)\left(\frac{dR}{dr}\right)^{2}$. Para deshacerse de la $C$ plazo, usted puede hacer la definición:

$t = T + \int\,dR\,C'$

Lo que da

$$ds^{2} = -(A'(R)-C'(R))dT^{2} + dR^{2}\left({\hat B(R)}+(1-A(R))(C'(R))^{2}\right) + R^{2}\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$$

Así, podemos redefinir nuestra factores, y nosotros el "estándar" a partir de

$$ds^{2} = - \alpha(R)dT^{2} + \beta(R)dR^{2} + R^{2}\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)$$

sin pérdida de generalidad.

Answer 2

No hay ninguna mención de espacio Euclídeo de aquí, porque el $2$-esferas no Euclidiana. No van a ser incorporados en el espacio Euclidiano. El Schwarzschild $r$ de coordenadas se define así como para hacer las esferas de la familia de $2$-esferas $4\pi r^2$. En otras palabras, estamos simplemente el etiquetado de los $2$-esferas por la de sus áreas.

El espacio euclidiano requeriría una cierta relación entre el área, el volumen y el radio, como en, la distancia desde el centro a los puntos de la esfera. Pero nuestra $r$ no es la radio en ese sentido! Es simplemente una etiqueta para el $2$-esferas que se ordena por la zona.

Aunque se puede obtener la métrica $\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2$ unidad $2$-esfera por considerar primero se incrusta en Euclidiana $3$-espacio en coordenadas esféricas, una vez que no hay nada que le impide teniendo en cuenta su geometría intrínseca, sin referencia a cualquier espacio Euclidiano. Así, por ejemplo, el área del elemento es dado intrínsecamente $\mathrm{d}A = \sqrt{g}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ y el área total es de $4\pi$.

Por lo tanto, debe quedar claro que un $2$-esfera de área $A$ puede ser descrito por la métrica $$\mathrm{d}\Omega^2 = \frac{A}{4\pi}\left[\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2\right]\text{.}$$ Pero somos también libres de re-etiquetar $A/4\pi$ cualquier manera que nos gusta. No hay ninguna diferencia intrínseca entre la toma, dicen, $e^r\,\mathrm{d}\Omega^2$, $\tan^2 r\,\mathrm{d}\Omega^2$, y $r^2\,\mathrm{d}\Omega^2$: se dará diferentes $r$-coordenadas que tienen diferentes relaciones entre el $r$ y y el área de la $2$-esfera. Que elegimos el de Schwarzschild $r$ a tener esa relación se $A = 4\pi r^2$ es hecho simplemente por conveniencia.

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Pero la zona es una cantidad que se define en términos de las coordenadas x,y,z que describir el espacio. Usted no sólo puede hacer una cantidad llamada zona sin definir en términos de las coordenadas x,y,z.

Que no es del todo correcto. Digamos que usted tiene una métrica en un $2$-colector en ortogonal de coordenadas, $$ds^2 = g_{11}\,\mathrm{d}u^2 + g_{22}\,\mathrm{d}v^2\text{.}$$ Que te dice que si vas un infinitesimal coordinar intervalo de $\mathrm{d}u$ a lo largo de la $u$ coordinar la dirección (y ninguno a lo largo de $v$), la longitud de la $\mathrm{d}s$$\sqrt{g_{11}}\,\mathrm{d}u$. Del mismo modo, yendo algunos infinitesimal coordinar intervalo de $\mathrm{d}v$ a lo largo de la $v$-dirección, la longitud será $\sqrt{g_{22}}\,\mathrm{d}v$.

Puesto que las coordenadas son ortogonales, que define un infinitesimal rectángulo de área que el producto de las longitudes de los lados, es decir, $$\mathrm{d}A = \sqrt{g_{11}g_{22}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\text{.}$$ En general, el área de elemento (o $n$-elemento de volumen en una variedad de dimensión $n$) en coordenadas arbitrarias tendrá un factor que es el determinante de la métrica, pero no tenemos que considerar el caso más general, porque nuestras coordenadas son ortogonales (no en cruz los términos de $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ en la métrica).

Tenga en cuenta que esto lo hicimos sin mención de cualquier espacio Euclidiano o que requieren nuestras coordenadas a ser Cartesiano. Como un ejemplo para Euclidiana $2$-espacio, tomar las coordenadas polares $$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}r^2 + r^2\,\mathrm{d}\theta^2\text{,}$$ que nuestra fórmula de inmediato da $$\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\text{,}$$ que es el área correcta de los elementos de la Euclidiana $2$-espacio en coordenadas polares. Incluso para la distancia Euclídea $2$-espacio, que no necesitan para iniciar con coordenadas Cartesianas, aunque podríamos haber hecho eso.