Límite trigonométrico

Question

Para probar que $\displaystyle\lim_ {x \to 0} \frac {1- \cos (ax)}{ax}=0$ con $a \ne 0$ me las arreglé para que $a=2$ y evaluó este límite:

$$\begin {align*} \quad \lim_ {x \to 0} \frac {1- \cos (2x)}{2x}&= \lim_ {x \to 0} \frac {1-(1-2 \sin ^2(x))}{2x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac {1-1+2 \sin ^2(x)}{2x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac {2 \sin ^2(x)}{2x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin ^2(x)}{x} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \sin (x)}{x} \cdot \sin (x) \\ &= 1 \cdot 0 \\ &=0 \end {align*}$$

¿Puedo generalizarlo?

Answer 1

Como se ha escrito en los comentarios se puede utilizar el hecho de que $x \to 0$ si y sólo si $ax \to 0$ y hacer una sustitución $t = ax$ . Entonces tu límite toma forma $$\lim_ {t \to 0} \frac {1- \cos t}{t}.$$ A continuación, usando la expansión de Taylor $\cos t = 1 - t^2/2 + t^4/4! - t^6/6! + \dots = 1 + o(t)$ que se obtiene $$\frac {1- \cos t}{t} = \frac {o(t)}{t} = 0.$$

Answer 2

Sólo aplica la regla de L'Hopital. Más concretamente, $$\lim_ {x \rightarrow 0} \frac {1- \cos ax}{ax} = \lim_ {x \rightarrow 0} \frac {a \sin ax}{a} =0.$$