¿Por qué el valor absoluto de " $i$ ¿"Uno"?

Question

Tiene todo el sentido del mundo decir que $|i|=1$ pero, ¿cómo justifico esta afirmación? La ecuación para el valor absoluto de un número complejo, $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ , se basa en cierto modo en $|i|=1$ o si no, obviamente, no funcionaría.

Si definimos el valor absoluto como la distancia de $0$ ¿Cómo lo supimos? $|i|=1$ para empezar a dibujar el plano complejo? Sin eso, uno no podría escalar correctamente el eje imaginario.

¿Hay alguna prueba de por qué $|i|=1$ ?

Answer 1

El valor absoluto del número complejo $z$ se define como $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$ después de haber demostrado que $z\bar{z}$ es un número real no negativo: en efecto, si $z=a+bi$ entonces $z\bar{z}=a^2+b^2$ según sea necesario.

Esto equivale a decir $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ y, en particular, $|i|=1$ .

Answer 2

La geometría del plano de coordenadas cartesianas puede considerarse un prerrequisito lógico para la construcción de los números complejos. La suma y la multiplicación de los números complejos pueden considerarse como estructuras adicionales que se imponen sobre el plano cartesiano. (Históricamente, como señala @egreg, los números complejos aparecieron en el año 1500 antes que las coordenadas cartesianas en el 1600. La representación plana de un número complejo no apareció hasta los años 1700-1800).

En un sentido formal, un número complejo es, por definición, un par ordenado de números reales $(a,b)$ . Además, la suma compleja es, por definición, una simple suma por coordenadas $$(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) $$ y la multiplicación compleja viene dada, por definición, por la fórmula $$(a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $$ Ahora puede asignar nombres especiales como $$i = (0,1) $$ y para introducir abusos especiales de taquigrafía como $$s = (s,0), \,\, s \in \mathbb{R} $$ y utilizarlo para derivar otras notaciones abreviadas como $$a + bi = (a,b), \,\, a,b \in \mathbb{R} $$ y para definir medidas geométricas especiales como $$|(a,b)| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ y estás listo para probar que $i^2=-1$ y $|i|=1$ .

Answer 3

La definición no se basa en $|i|$ ser $1$ . De hecho, podemos demostrar ese hecho utilizando la definición: $$|i| = |(0) + (1)i| = \sqrt{0^2+1^2} = 1$$

Answer 4

La primera forma: escribir $i$ en forma algebraica, es decir, como $a+ib$ ;

$$ i=0+i1 $$ ahora sabes que el valor absoluto de un número complejo $z=a+ib$ se define como $$ |z|:=\sqrt{a^2+b^2} $$ por lo tanto, ya que para $i$ es $a=0$ y $b=1$ , se obtiene $|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$ .

Segundo camino: escribir $i$ en forma polar, es decir, como $re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ : $$ i=1e^{i\frac{\pi}{2}}=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ del que se obtiene $$ |i|=|1e^{i\frac{\pi}{2}}|=\left|\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\right| =\sqrt{\cos^2\frac{\pi}{2}+\sin^2\frac{\pi}{2}} =\sqrt{1}=1 $$

Tercera vía: vista geométrica.

El campo del número complejo $\Bbb C\simeq\Bbb R^2$ es un espacio vectorial bidimensional sobre $\Bbb R$ viendo así sus elementos como vectores del plano real, el significado del módulo de un número complejo, puede verse como la longitud del vector correspondiente en $\Bbb R^2$ .

Ahora, en el isomorfismo $\Bbb C\simeq\Bbb R^2$ dado por $a+ib\mapsto(a,b)\in\Bbb R^2$ , $i$ es claramente la pareja $(0,1)$ que es un vector de longitud unitaria.

Answer 5

Después de leer la respuesta de egreg, se me ocurrió una idea:

$$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$

$$|i\cdot i|=|i|\cdot|i|\implies|i^2|=|i|^2$$

$$\implies|-1|=|i|^2$$

$$1=|i|^2$$

$$\implies|i|=1$$

¿Alguna razón por la que esto pueda ser erróneo o si es una forma completamente válida de demostrarlo?