De Fourier Senoidal Transformar

Question

Hay una pregunta de mi libro, que me parece duro. Aquí va:

Considere la posibilidad de $$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-v_0\frac{\partial u}{\partial x} \quad\quad(x>0)$$ $$u(0,t)=0$$ $$u(x,0)=f(x)$$ Demostrar que la transformada de Fourier senoidal transformar no produce un immidiate solución

Estoy en lo cierto diciendo el Seno de transformación es el siguiente?:

$$\frac{\partial \bar{U}}{\partial t}=k\left.(\frac{2}{\pi}\omega f(0)-\omega^2\bar{U}\right.)+v_0\omega C[f]$$

Thnx por adelantado

Answer 1

Al aplicar la transformada de Fourier senoidal transformar en $t$ , el plazo de $\dfrac{\partial u}{\partial t}$ se relacionan con el coseno de Fourier transform en lugar de la de Fourier senoidal de transformación; al aplicar la transformada de Fourier senoidal transformar en $x$ , el plazo de $\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}$ se refieren a la transformada de Fourier senoidal de transformar, pero el plazo de $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ se relacionan con el coseno de Fourier transform en lugar de la de Fourier senoidal de transformación. Así que no podemos resolver este PDE Fourier senoidal transformar a menos $v_0=0$ . La declaración de esta pregunta declaró parcialmente correcta.

Separación de variables no tiene ningún tipo de problema, como el concepto de separación de variables para elegir el más adecuado núcleo transformar tipo de acuerdo para la solución de las formas de las Odas separados, en lugar de aplicar núcleo fijo transformar tipo.

Caso $1$: $\text{Re}(kt)\geq0$

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)-v_0X'(x)T(t)$

$X(x)T'(t)=(kX''(x)-v_0X'(x))T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{kX''(x)-v_0X'(x)}{X(x)}=-\dfrac{4k^2s^2+v_0^2}{4k}$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-\dfrac{4k^2s^2+v_0^2}{4k}\\kX''(x)-v_0X'(x)+\dfrac{4k^2s^2+v_0^2}{4k}X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-\frac{t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\sin xs+c_2(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1xe^{\frac{v_0x}{2k}}+c_2e^{\frac{v_0x}{2k}}&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{2v_0x-t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{\frac{2v_0x-t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}\cos xs~ds$

$u(0,t)=0$ :

$\int_0^\infty C_2(s)e^{-\frac{t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}ds=0$

$C_2(s)=0$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{2v_0x-t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}\sin xs~ds$

$u(x,0)=f(x)$ :

$\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\sin xs~ds=f(x)$

$\int_0^\infty C_1(s)\sin xs~ds=f(x)e^{-\frac{v_0x}{2k}}$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_1(s)\}=f(x)e^{-\frac{v_0x}{2k}}$

$C_1(s)=\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\left\{f(x)e^{-\frac{v_0x}{2k}}\right\}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\left\{f(x)e^{-\frac{v_0x}{2k}}\right\}e^{\frac{2v_0x-t(4k^2s^2+v_0^2)}{4k}}\sin xs~ds$

Caso $2$: $\text{Re}(kt)\leq0$

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)-v_0X'(x)T(t)$

$X(x)T'(t)=(kX''(x)-v_0X'(x))T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{kX''(x)-v_0X'(x)}{X(x)}=\dfrac{4k^2s^2-v_0^2}{4k}$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{4k^2s^2-v_0^2}{4k}\\kX''(x)-v_0X'(x)-\dfrac{4k^2s^2-v_0^2}{4k}X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{\frac{t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\sinh xs+c_2(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\cosh xs&\text{when}~s\neq0\\c_1xe^{\frac{v_0x}{2k}}+c_2e^{\frac{v_0x}{2k}}&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{2v_0x+t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{\frac{2v_0x+t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}\cosh xs~ds$

$u(0,t)=0$ :

$\int_0^\infty C_2(s)e^{\frac{t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}ds=0$

$C_2(s)=0$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{2v_0x+t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}\sinh xs~ds$

$u(x,0)=f(x)$ :

$\int_0^\infty C_1(s)e^{\frac{v_0x}{2k}}\sinh xs~ds=f(x)$

$-i\int_0^\infty C_1(s)\sin ixs~ds=f(x)e^{-\frac{v_0x}{2k}}$

$\int_0^\infty C_1(s)\sin xs~ds=if(-ix)e^{\frac{iv_0x}{2k}}$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_1(s)\}=if(-ix)e^{\frac{iv_0x}{2k}}$

$C_1(s)=\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\left\{if(-ix)e^{\frac{iv_0x}{2k}}\right\}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\left\{if(-ix)e^{\frac{iv_0x}{2k}}\right\}e^{\frac{2v_0x+t(4k^2s^2-v_0^2)}{4k}}\sinh xs~ds$