Deje $p > 1$. Para todos los $\epsilon > 0$, no existe $C = C(\epsilon, p)$ tal que$$\|u\|_{L^\infty(0, 1)} \le \epsilon\|u'\|_{L^p(0, 1)} + C\|u\|_{L^1(0, 1)}$$for all $u \W^{1, p}(0, 1)$?
Respuesta
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BrianB
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Sí, y para demostrarlo basta demostrar que para todos los $\delta>0$ existe $K=K(\delta,p)$ tal que $$\|u\|_{L^\infty(0, 1)} \le \delta\|u\|_{W^{1,p}(0, 1)} + K\|u\|_{L^1(0, 1)}, \quad\forall\ u \in W^{1, p}(0, 1).\tag{1}$$
En efecto, supongamos que $(1)$ es cierto. Deje $c>0$ a ser una constante a tal que $\|\cdot\|_{L^p}\leq c\|\cdot\|_{L^\infty}$. Dado $\varepsilon>0$, tome $\delta=\frac{\varepsilon}{1+c\varepsilon}$. Entonces \begin{align}\|u\|_{L^\infty(0, 1)} &\le \delta\|u'\|_{L^p(0, 1)} + \delta\|u\|_{L^p(0, 1)}+K\|u\|_{L^1(0, 1)}\\ &\le \delta\|u'\|_{L^p(0, 1)} + \delta c \|u\|_{L^\infty(0, 1)}+K\|u\|_{L^1(0, 1)} \end{align} lo que implica \begin{align}(1-c\delta)\|u\|_{L^\infty(0, 1)} &\le \delta\|u'\|_{L^p(0, 1)} +K\|u\|_{L^1(0, 1)} \end{align} Por lo tanto el resultado deseado sostiene con $C=K(1+c\varepsilon)$.
La prueba de $(1)$: Suponga que $(1)$ no es cierto. Entonces, existe una constante $\eta_0>0$ y una secuencia $(u_n)$ $W^{1,p}(0,1)$ tal que $$\|u_n\|_{L^\infty}>\eta_0\|u_n\|_{W^{1,p}}+n\|u_n\|_{L^1},\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$ Tenga en cuenta que $u_n\neq 0$ todos los $n\in\mathbb{N}$ (de lo contrario tendríamos $0>0$) y por lo tanto podemos definir $$w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|_{W^{1,p}}}$$ que satisface $$\|w_n\|_{L^\infty}>\eta_0+n\|w_n\|_{L^1},\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.\tag{1}$$ Por otro lado, como la inclusión de $W^{1,p}\subset L^\infty$ es continua, existe una constante $L>0$ tal que $$\|w_n\|_{L^\infty}\leq L\|w_n\|_{W^{1,p}}=L,\quad \forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{2}$$ Se desprende de lo $(1)$ $(2)$ que $$\|w_n\|_{L^1}<\frac{L}{n},\quad\forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{3}$$
Como la inclusión $W^{1,p}\subset L^\infty$ es compacto (debido a $p>1$), no existe $w_0\in L^\infty$ y una larga de $(w_n)$, que no será recalificado, de tal manera que $$\|w_n- w_0\|_{L^\infty}\to 0.\tag{4}$$ Como la inclusión $L^\infty\subset L^1$ es continua, se sigue que $$\|w_n- w_0\|_{L^1}\to 0.\tag{5}$$ De$(3)$$(5)$, obtenemos $w_0=0$. Así, a partir de $(1)$$(4)$, $$\|w_n\|_{L^\infty}>\eta_0>0,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}\qquad\text{and}\qquad \|w_n\|_{L^\infty}\to 0.$$ lo cual es una contradicción.
Observación 1: tenga en cuenta que en la prueba de $(1)$ se han utilizado sólo dos propiedades de los espacios $W^{1,p}$, $L^\infty$ y $L^1$: (i) la inclusión $W^{1,p}\subset L^\infty$ es compacto y (ii) la inclusión $L^\infty\subset L^1$ es continua. Por lo tanto, exactamente el mismo argumento se puede usar para probar el siguiente
Lema: Vamos a $A$, $B$ y $X$ ser espacios de Banach tal que $A\subset X\subset B$. Suponga que
- la inclusión $A\subset X$ es compacto;
- la inclusión $X\subset B$ es continua.
Entonces, dado $\eta>0$, existe una constante $C_\eta>0$ tal que $$\|u\|_X\leq\eta\|u\|_A+C_\eta\|u\|_B,\quad\forall\ u\in A.$$
Comentario 2:la Afirmación de $(1)$ también se ha demostrado como una consecuencia de la Interpolación de la desigualdad de Gagliardo–Nirenberg.
