Finito de Borel medidas que no están de acuerdo en $\mathbb{R}$

Question

Cómo se podría ir sobre la búsqueda de una familia $X$ de los conjuntos de Borel en $\mathbb{R}$ que generan la Borel $\sigma$-algbera en $\mathbb{R}$ y dos finito medida de Borel $\mu$ $\nu$ que está de acuerdo en $X$, pero no está de acuerdo sobre el conjunto de Borel $\sigma$-álgebra.

Sé que $X$ no puede ser un $\Pi$-sistema, por lo que yo estaba pensando en usar el open intervalos pero realmente estoy luchando con las medidas. La única finito medidas puedo pensar en punto de Dirac medidas.

Answer 1

Es esta pregunta, en realidad, de 8 meses de edad? Intente esto:

Deje $\mathcal X$ consta de todos los conjuntos de borel $A \subseteq \mathbb R$ tal que $$ \text{o bien}\qquad A \cap \{1,2,3,4\} = \{1,2\}\qquad\text{o}\qquad A \cap \{1,2,3,4\} = \{1,3\} . $$ Deje $\mu = \delta_1+\delta_4$. Es decir, los puntos de $1$ $4$ cada uno tiene medida $1$, todo lo demás medida cero. Y deje $\nu = \delta_2 + \delta_3$.

Demostrar: (a) $\mu(A)=\nu(A)$ todos los $A \in \mathcal X$. (b) $\sigma(\mathcal X)$ es todos los conjuntos de Borel.

Answer 2

Ver t.b.'s otra construcción: Tome $X$ el libre intervalos de $R$ no contiene $0$ $1$ , una medida de Dirac punto de medida en $0$ y el otro el Punto de Dirac medida en $1$. Ambas medidas son triviales y estoy de acuerdo en $X$.