Discretización de Hamiltonianos utilizando diferencias finitas siempre justificado?

Question

Tengo este continuum versión $$ H_{R}=\int dx\psi^{\dagger}(x)(\frac{p^{2}}{2}+V)\psi(x) $$ with $V$ as de potencial constante.

Es siempre justificada a ir de este a $$ \sum_{i}c_{i}^{ \dagger }\left[c_{i+1}+c_{i-1}-2c_{i}\right] +V \sum_{i}c_{i}^{ \dagger }c_{i} $$ el uso de la diferencia finita forma de la unidimensional de la segunda derivada? Ignorar el factor de $-1/2 $ y asumir la constante de red $a= 1 $$\hbar =1 $.

En realidad estoy pensando si está justificado el uso de este, incluso cuando la derivada de eigenfunction es discontinua en algunos de los puntos en el espacio real como el delta-función de barrera. Que afectarán a la segunda derivada de los operadores de campo ?

Answer 1

[He contestado a esto en la suposición de que estaban hablando acerca de la aproximación de un estado sólido, tipo de sistema, así que la respuesta es bastante particular. La cuestión de la definición de un continuum de límite de una teoría cuántica de campos no es trivial.]

La forma habitual para ir a la continuidad límite es ir a el espacio de Fourier. Puesto que usted está en un entramado que va a terminar en una Zona de Brillouin. Tomando el continuum límite es equivalente a hacer de la zona de Brillouin infinito, en lugar de periódico. A continuación, puede tomar un regular de la transformada de Fourier para obtener un continuo espacio real de la teoría. Va de continuo a la celosía es el proceso inverso.

Esto, creo, se hace claro cuando se puede hacer esta transformación. Usted puede hacerlo si

1) Usted está preocupado con el wavevectors en una región de la BZ que no sabe nada sobre el tamaño de las BZ. Esto incluye no sólo la ingenua suposición de pequeños vectores de onda, pero también dicen fermiones de cerrar un gran-ish de Fermi de la superficie. Y, por supuesto, todos externos de perturbación de la necesidad a la par de esta pequeña región.

2) Usted no está preocupado acerca de cualquiera de los procesos que saber acerca de la periodicidad de la red. Así que no Umklapp de dispersión, no Fermi de la superficie de anidación, etc... Esto puede ser muy importante. Por ejemplo, el modelo de celosía en la plaza de celosía en la mitad de llenado perfecto de anidación de vectores. Estos llevan a antiferromagnético los estados que no tienen su equivalente en el modelo continuo (creo).

Otra manera de pensar acerca de la pt. (2) es que su continuidad y celosías de modelos completamente diferentes grupos de simetría. Su modelo continuo tiene un continuo traducciones $\mathbb{R}^n$, mientras que el modelo de celosía tiene simetrías $\mathbb{Z}^n$. En cualquier momento el cambio de las simetrías usted debe ser cauteloso.

También tienen diferentes simetrías de rotación. Veo en tu modelo en particular, que también han hecho una expansión de la relación de dispersión, mediante la adopción de $E = p^2/2m - \mu$ en el continuum. Esto le da a usted una esfera de Fermi de la superficie, mientras que el entramado modelo puede tener una muy asféricas forma (como la mitad de llenado del modelo). En mucho de la vida, esto es en realidad muy bien, y sólo conduce a la numérica discrepancias, pero en caso extremo, usted debe ser consciente de. Siempre se puede cambiar la dispersión a ser $E = v_F(p-p_F)$ donde $v_F$ $p_F$ dependen del ángulo. También hay que tener cuidado de que accidentalmente a mantener o la destrucción de rotación de las simetrías que no existen en el modelo de celosía. Estos por lo general corresponden a irrelevante a los operadores, pero de nuevo, ser consciente, ser cauteloso.