La separación de cero factor de holomorphic función

Question

Me encontré con esta línea de argumentación. Supongamos $z_k=k\pi$. Claramente tenemos $\sin z_k=0$. Entonces podemos escribir $\sin z=(z-z_k)(\cos(z_k)+g_k(z))$ donde $g_k$ es holomorphic y $g_k(z_k)=0$.

Parece que el argumento que se usa es como:

Supongamos que tenemos $f(z)$ holomorphic y $f(a)=0$. Entonces podemos escribir $f(z)=(z-a)(f'(a)+g(z))$ donde $g(z)$ es holomorphic y $g(a)=0$.

¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

Gran pregunta. La respuesta es que se puede escribir $f$ como una potencia de la serie. Podemos ver que si $f$ es un holomorphic función tal que $f(a)=0$, $f(z)/(z-a)$ es holomorphic en todos los puntos en el dominio de $f$, excepto posiblemente en a $z=a$. Voy a mostrar que es en realidad holomorphic en $z=a$, y por lo $f(z)/(z-a)$ es holomorphic en todo el dominio de la $f$.

A nivel local, tenemos que $f(z)=a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+\cdots$ (que podría tener ese $a_1=0$, pero, al menos, no hay término constante desde $f$ es cero en $a$), y $f'(z)=a_1+2a_2(z-a)+\cdots$. Tenemos que $f(z)/(z-a)=a_1+a_2(z-a)+\cdots$ y es holomorphic en $a$. Por otra parte, para obtener la descomposición que está buscando, podemos obtener a partir de las ecuaciones que $$f(z)=(z-a)((a_1+2a_2(z-a)+3a_3(z-a)^2+\cdots)-(a_2(z-a)+2a_3(z-a)^2+\cdots)$$ $$=(z-a)(f'(z)+g(z)),$$ donde $g(z)=-(a_2(z-a)+2a_3(z-a)^2+\cdots)=-\sum_{k=1}^\infty ka_k(z-a)^k$. Este es holomorphic cerca de $a$, y es fácil ver que se extienden a todo el dominio de la $f$ (desde $g(z)=f(z)/(z-a)-f'(z)$, el cual es definido en todas partes en el dominio de $f$).

Por supuesto, si usted no desea utilizar el poder de la serie, y ya sabemos que $f(z)/(z-a)$ es holomorphic, entonces usted puede escribir $$f(z)=(z-a)(f'(z)+(\frac{f(z)}{z-a}-f'(z))),$$ que es lo que usted ha escrito.