Expectativa condicional en más de una sigma-álgebra

Question

Me encuentro con el siguiente problema. En $X$ sea una variable aleatoria integrable en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y $\mathcal{G},\mathcal{H} \subseteq \mathcal{F}$ sean dos álgebras sigma. Suponemos que $X$ es independiente de $\mathcal{G}$ es decir $\sigma(X)$ es independiente de $\mathcal{G}$ . ¿Puedo decir (y puedo demostrar) que $$ E(X \mid \sigma(\mathcal{G} \cup \mathcal{H})) = E(X\mid \mathcal{H}) ?$$

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Si estás dispuesto a asumir que $\sigma(\sigma(X)\cup \mathcal{H})$ es independiente de $\sigma(\mathcal{G})$ y que $X$ es integrable, entonces la afirmación es cierta. Tenemos que demostrar que $$ E[X\mid \sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})]=E[X\mid\mathcal{H}], $$ es decir, tenemos que demostrar que $E[X\mid\mathcal{H}]$ puede servir como la expectativa condicional de $X$ dado $\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ es decir, demostrar que

• $E[X\mid\mathcal{H}]$ es $\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ -medible,
• $E[X\mid\mathcal{H}]$ es integrable,
• para todos $A\in\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ : $$\int_A E[X\mid\mathcal{H}]\,\mathrm dP=\int_A X\,\mathrm dP.$$

Las dos primeras son evidentes. Para la tercera, obsérvese que (por linealidad, podemos suponer que $X$ es no negativo) $$ \sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})\ni A\mapsto \int_AE[X\mid\mathcal{H}]\,\mathrm dP $$ y $$ \sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})\ni A\mapsto \int_A X\,\mathrm dP $$ son dos medidas definidas en $\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ con igual masa total siendo $E[X]$ . Por lo tanto, basta con demostrar que las dos medidas son idénticas en algunos $\cap$ -generador estable de $\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ . Aquí, utilizamos que $$ \{A\cap B\mid A\in\mathcal{G},\,B\in\mathcal{H}\} $$ es realmente un $\cap$ -generador estable de $\sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})$ (¿por qué?) y, por tanto, basta con demostrar que $$ \int_{A\cap B} E[X\mid \mathcal{H}]\,\mathrm dP=\int_{A\cap B} X\,\mathrm dP,\quad A\in\mathcal{G},\,B\in\mathcal{H}. $$ Intenta demostrarlo utilizando el supuesto de independencia. Creo que te quedará claro que, de hecho, necesitamos el supuesto de independencia más fuerte.

Un contraejemplo que demuestra que efectivamente necesitamos la hipótesis más fuerte es el siguiente: Sea $U$ y $V$ sean variables Bernoulli simétricas i.i.d. (es decir. $P(U=-1)=P(U=1)=\tfrac12$ ), $\mathcal{G}=\sigma(U)$ , $\mathcal{H}=\sigma(V)$ y $X=UV$ . Ahora, se puede demostrar que $X$ y $U$ son independientes demostrando que $$ P(X=a,U=b)=P(X=a)P(U=b) $$ para cada combinación de $a,b\in \{0,1\}$ . Pero $\sigma(\sigma(X)\cup\sigma(V))$ es no independiente de $\sigma(U)$ ya que, por ejemplo $$ P(X=1,V=1,U=1)\neq P(X=1,V=1)P(U=1), $$ y por lo tanto no tenemos el supuesto de independencia más fuerte. En este caso, $$ E[X\mid \sigma(\mathcal{G}\cup\mathcal{H})]=UV\neq E[U]V=E[X\mid\mathcal{H}]. $$

Answer 2

Para obtener un resultado general, la ecuación se cumple si se cumple el supuesto A2, y el supuesto A2 se cumple cuando se cumple A1. A1 es la condición mencionada en la otra respuesta.

(A1) $X \vee \mathcal H$ y $\mathcal G$ son independientes (donde escribimos $X \vee \mathcal H$ para referirnos al subálgebra sigma más pequeña que contenga tanto $\sigma(X)$ y $\mathcal H$ )

(A2) $X$ y $\mathcal G$ son condicionalmente independientes dado $\mathcal H$

(A3) $E(X | \mathcal H \vee \mathcal G) = E(X | \mathcal H)$

En resumen, A1 ==> A2 ==> A3.

Por otra parte, X y $\mathcal G$ que sean independientes no implica A2 y A2 no implica la independencia de X y $\mathcal G$ .