Encontrar todas las soluciones enteras de $1+x+x^2+x^3=y^2$

Question

Necesito ayuda para resolver este problema:

Encuentra todas las soluciones enteras de la siguiente ecuación:

$1+x+x^2+x^3=y^2$

Mi intento:

Claramente $y^2 = (1+x)(1+x^2)$ , asumiendo el GCD[ $(1+x), (1+x^2)] = d$ , entonces si $d>1$ , $d$ tiene que ser potencia de 2. Esto implica que puedo asumir: $1+x=2^s*a^2, 1+x^2=2^t*b^2$ . Si $t=0$ entonces es fácil de terminar. Teniendo en cuenta $t>0$ podemos obtener $t=1$ (sólo pasos sencillos), así que se me ocurre una ecuación "relacionada con Pell" Luego me pego allí. Tiene una solución $x=7$ , así que supongo que no es fácil encontrar el resto.

Por favor, ayuda.

Answer 1

Hay bastante información sobre esta ecuación en la Historia de la teoría de los números de Dickson. Volumen 1, página 56, dice que Gerono, Nouv Ann Math (2) 16 (1877) 230-234 demostró que las únicas soluciones son $$(x,y)=(-1,0),\quad(0,\pm1),\quad(1,\pm2),\quad(7,\pm20)$$ En la página 57, Dickson hace referencia a una prueba de Genocchi, Nouv Ann Math (3) 2 (1883) 306-310. Lucas, Nouv Corresp Math 2 (1876) 87-88, había señalado que el problema es equivalente a resolver $1+x=2u^2$ , $1+x^2=2v^2$ y luego dejar que $y=2uv$ . Dickson analiza luego ese sistema en el volumen 2, páginas 487-488. Allí se dan varias referencias.

Answer 2

La solución se da en el libro de Ribenboim sobre La conjetura de Catalán donde todas las ecuaciones diofantinas $$y^2=1+x+x^2+\cdots +x^k$$ se estudian. Para $k=3$ , sólo $x=1$ y $x=7$ son posibles.

Answer 3

Este problema, y su "inverso" ( q.v. Encontrar todas las soluciones a $y^3 = x^2 + x + 1$ con $x,y$ enteros mayores que $1$ ) fueron planteadas por Fermat en 1657 (véase, por ejemplo, Mahoney pg. 337). Ambas conducen a las ecuaciones de Pell ( q.v. Soluciones a $p+1=2n^2$ y $p^2+1=2m^2$ en números naturales. ), que era exactamente lo que Fermat intentaba que sus contemporáneos estudiaran con él.