¿Cómo se llega a un POVM?

Question

Este es un ejemplo inventado, sólo para entender un concepto. Si el cambio de los valores de la probabilidad ayuda a su explicación, me parece bien.

Digamos que tienes una cantidad física $E$ que puede tomar valores 1, 2, 3 con probabilidades 0,4, 0,25, 0,35 respectivamente (trabajando en un marco cuántico). Se tiene una medida valorada por un operador positivo, $E_1, E_2, E_3$ con $E_i$ correspondiente a su medida, lo que resulta en un valor $i$ . Si $\rho$ es el operador de densidad que representa el estado actual, entonces tienes:

Tr( $\rho E_1$ ) = 0,4, Tr( $\rho E_2$ ) = 0,25, Tr( $\rho E_3$ ) = 0.35

Dados sólo estos valores de probabilidad, ¿es posible construir $E_1, E_2, E_3$ ¿"Al revés"?

Answer 1

Sí. No sólo es posible, sino que la solución no es única y existe una solución que es independiente de $\rho$ .

Así que para $p_k$ siendo probabilidades con $\sum_k p_k = 1$ , se puede decir que $E_k = p_k \mathbf{1}$ , donde $\mathbf{1} = \sum_j |j\rangle \langle j|$ (es decir, la matriz de identidad). Entonces $Tr[ E_k \rho] = p_k Tr[\rho] = p_k$ . Esto funciona para todos los $\rho$ .

También hay soluciones no triviales. Si digamos que su estado es un estado puro $|\psi\rangle$ en algunos $d$ espacio de Hilbert dimensional, entonces sólo hay que encontrar la base $|k\rangle$ para lo cual $|\psi\rangle = \sum_k \sqrt{p_k} e^{i \phi_k} |k\rangle$ .

También hay que notar algo con las ecuaciones de probabilidad, en $Tr[\rho E_1]$ si no se asume que $\rho$ es el estado que bien podría ser $E_1$ es el estado y $\rho$ es la medida (aunque a diferencia de $\rho$ , $E_k$ no necesita ser normalizado). Así que la pregunta es la misma que la de cómo construir tres estados para los que la medición de $\rho$ da dichas probabilidades.

Answer 2

Si cuentas el número de variables que quieres encontrar te salen 18 (=9+9, 2 operadores hermitianos, el tercero está fijado por los otros), pero sólo impones cuatro condiciones a esas variables (=2x2, la traza puede ser compleja, la tercera traza ya está contada), por tanto creo que es imposible.