Entero de inducción sin el infinito

Question

En ZFC menos infinito (llamemos a esto T), aún se pueden definir los números ordinales, y a continuación, definir los enteros como números ordinales en la que todos los miembros son iguales a cero o sucesor los números ordinales.

Estoy buscando una fórmula $\psi$ tal que

• T demuestre $\psi(0)$

• T demuestre $\psi(n)\Rightarrow \psi(n+1)$ por cada "entero" (en el anterior sentido ) $n$,

• T no prueba la (obviamente cierto) $\forall \ \text{integer}\ n, \psi(n)$.

Esta sería una situación típica de $\omega$-incompletitud. Esta es, probablemente, bien conocido, pero no recuerdo en donde se explica.

Answer 1

Supongamos que $\psi$ es de esas fórmulas, y deje $(M,E)$ ser un modelo de $T$ que $\forall n(n\text{ is an integer}\rightarrow\psi(n))$ es falso.

Considere la posibilidad de $A=\{k\mid M\models\lnot\psi(k)\land k\text{ is an integer}\}$, entonces esta clase no puede tener un $E$-mínimo elemento. Si $M\models k=\min A$, luego de curso $k\neq 0$, ya que el $T\vdash\varphi(0)$, lo $k=n+1$, pero $M\models\psi(n)\land(\psi(n)\rightarrow\psi(n+1))$, lo $M\models\psi(k)$.

Por lo tanto, $A$ es una clase sin por lo menos un elemento. Esto es una contradicción, ya que si $M\models k\in A$,$M\models k\cap A\text{ is a set linearly ordered by }E\text{ and without a least element}$, lo cual es una contradicción con el hecho de que $M$ satisface el axioma de fundación.

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Tenga en cuenta que la suposición de que $T\vdash\psi(0)\land\forall k(k\text{ is an integer}\land\psi(k)\rightarrow\psi(k+1))$ fue necesario aquí.

Por otro lado, si sólo requieren que $T$ demuestra esta meta enteros, entonces algo como $n$ codifica una prueba por contradicción de $T$ es un ejemplo de una declaración como esa.