Demostrar que la parte real de la raíz de una ecuación es constante

Question

Llevo un tiempo atascado con la siguiente pregunta:

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Dejemos que $z$ sea una raíz de la siguiente ecuación:

$$z^n + (z+1)^n = 0$$

donde $n$ es cualquier número entero positivo. Demuestre que

$$Re(z) = -\frac12$$

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Porque $z^n = -(z+1)^n$ , traté de escribir $z+1$ en términos de $z$ . En coordenadas cartesianas, he probado (con $z = a + ib$ ):

$$(a + ib)^n = - (a + 1 + ib)^n$$

No he encontrado ninguna forma de calcular $a$ para un $n$ en esta ecuación. En coordenadas polares:

$$\sqrt{a^2 + b^2} e^{i \, n \, atan( \frac{b}{a} )} = \sqrt{(a+1)^2 + b^2} e^{i \, n \, atan( \frac{b}{a+1} )}$$

La parte real de $z$ parece difícil de extraer de esta ecuación.

Cualquier pista es bienvenida, ¡llevo muchas horas intentándolo!

Answer 1

Desde $z=0$ no es una raíz, todas nuestras raíces satisfacen $x^n =-1$ donde $x=1+1/z.$ Así que las soluciones son $$z= \frac{1}{ \cos \left(\dfrac{(1+2k)\pi}{n}\right)-1+ i\sin \left(\dfrac{(1+2k)\pi}{n}\right)}.$$

Multiplica el numerador y el denominador por $\cos \left(\dfrac{(1+2k)\pi}{n}\right)-1- i\sin \left(\dfrac{(1+2k)\pi}{n}\right)$ y utilizar algunas identidades trigonométricas básicas para ver que la parte real es $-1/2.$

Answer 2

$$z^{n+1}=-(z+1)^{n+1}\iff z\cdot z^n=(z+1)(-(z+1)^n)\stackrel{\text{clearly}\;z\neq0}\implies \frac z{z+1}=-\left(\frac{z+1}z\right)^n$$

Poniendo

$$w:=\frac z{z+1}\;,\;\;\text{we got}\;\;w=-w^{-n}\iff w^{n+1}=-1=e^{\pi i}$$

Las soluciones de esta ecuación son

$$w_k=e^{\pi i(2k+1)/(n+1)}\;,\;\;k=0,1,2,\ldots,n$$

y para cada uno tenemos

$$w_k=\cos\frac{2\pi (2k+1)}{n+1}+i\sin\frac{2\pi(2k+1)}{n+1}$$

y $\;\color{blue}{\text{the real part of}\;\;z\;}$ viene dada por

$$\text{Re}\,\frac w{1-w}$$

Pero

$$\frac w{1-w}=\frac{w-|w|^2}{|1-w|^2}$$

y

$$\begin{align*}w-|w|^2&=w-1=\color{red}{\cos t-1}+i\sin t\\ |1-w|^2&=1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t=\color{red}{2(1-\cos t)}\;,\;\;\text{with}\;\;t=\frac{\pi(2k+1)}{n+1}\end{align*}$$

Así que, finalmente, obtenemos Re $\,z=-\frac12\;$ ...

Answer 3

$\underline{\bf{My Try}}$ ::Dado $z^n+(z+1)^n = 0\Rightarrow z^n = -(z+1)^n$

Ahora tomando el módulo en ambos lados, obtenemos $\left|z^n\right| = \left|-(z+1)^n\right| = \left|(z+1)^n\right|$

$\Rightarrow \left|z\right|^n = \left|z+1\right|^n \Rightarrow \left|z-(0+i\cdot 0)\right|^n = \left|z-(-1+0\cdot i)\right|^n$

significa todo $P(z)=P(x,y)$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de la línea que une $A(0,0)$ y $B(-1,0)$

Así que podemos decir que $\displaystyle \bf{Re(z) = -\frac{1}{2}}$