La Asignación Abierta Teorema dice que una lineal continua surjection entre espacios de Banach es un espacio abierto de asignación. Estoy escribiendo algunas notas de la conferencia en la Asignación Abierta Teorema. Supongo que sería bueno tener algunos contraejemplos. Después de todo, ¿cómo puede usted apreciar su significado sin una buen contraejemplo que muestre cómo la conclusión podría fallar y por qué la conclusión es que no es obvio en absoluto.
Deje $\ell^1 \subset \mathbb{R}^\infty$ el conjunto de secuencias $(a_1, a_2, \dotsc)$, de tal manera que $\sum |a_j| < \infty$. Si tenemos en cuenta el $\ell^1$ norma $\|\cdot\|_1$ y el supremum norma $\|\cdot\|_s$, entonces, $(\ell^1, \|\cdot\|_1)$ es completa, mientras que $(\ell^1, \|\cdot\|_s)$ no es completa.
En este caso, la identidad $$ \begin{array}{rrcl} \mathrm{id}:& (\ell^1, \|\cdot\|_1)& \to &(\ell^1, \|\cdot\|_s) \\ & x & \mapsto & x \end{array} $$ es un continuo bijection pero no está abierto.
Quiero un contraejemplo en la dirección opuesta. Es decir, quiero un lineal continuo bijection $T: E \to F$ entre la normativa de los espacios $E$ $F$ tal que $F$ es de Banach, sino $T$ no está abierto. Esto es equivalente a encontrar un espacio vectorial $E$ con los no-equivalente normas $\|\cdot\|_c$$\|\cdot\|_n$, tal que $E$ es completa cuando se considera la norma $\|\cdot\|_c$, y de tal manera que $$ \|\cdot\|_c \leq \|\cdot\|_n. $$ La Asignación Abierta Teorema implica que $\|\cdot\|_n$ es no es completa.
Así, es alguien consciente de que tal contraejemplo?
