Hay una función que tiene un no-tangencial límites en ningún punto de $ \partial \mathbb{D}$ . Donde $\mathbb{D}$ es de la unidad de disco abierto en $\mathbb{C}$ ? ¿Alguien puede darme ese ejemplo.
Respuesta
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Old John
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En un artículo de 1962, G. R. Maclane dio un ejemplo de un holomorphic función de $F(z)$ en la unidad de disco tal que para cualquier $\theta$ hemos
$$\limsup_{r\to 1} |F(re^{i\theta})| = +\infty, \,\,\, \liminf_{r\to 1} |F(re^{i\theta})| = 0$$
Esto aseguraría que los $F(z)$ no puede tener un nontangential límite en cualquier punto del círculo unitario, así como el no tener radial límites en cualquier punto de la frontera. Curiosamente, la función que construye no tiene ceros en el interior del disco y satisface una condición de crecimiento allí.
El pdf completo archivo de Maclane del papel puede ser descargado desde el enlace de arriba.
Editar:
Mi primer impulso al ver a esta pregunta fue mirar a lacunary series como $f(z) = z + z^2 + z^4 + z^8 + z^{16} + \cdots$, y parece que estos de hecho tienen las propiedades necesarias.
En un artículo de J. Marshall Ceniza (pero él parece estar citando los resultados por Binmore) afirma:
Si $\{\lambda_n\}$ es un lacunary secuencia de números enteros (es decir, hay una constante $C$ tal que $\lambda_{k+1}/\lambda_{k} \ge C > 1$) y la función $$f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n z^{\lambda_n}$$ is analytic on $|z| < 1$ and has coefficients satisfying $\limsup_{n \to \infty} |a_n| > 0$, then $f$ has radial limits at no point of the boundary $|z|=1$. ... In particular $f(z) = 1 + z + z^2 + z^4 + z^8 + z^{16} + \cdots$ is analytic in $|z|<1$, pero ha radial límites en ningún punto de la frontera de $|z|=1$.
Claramente, ya que esta función no tiene (finito) radial límites en cualquier punto del círculo unidad, no se puede tener un (finito) nontangential límite en cualquier punto del círculo.
Los papeles parecen estar disponibles de forma general (desde mi PC parecen estar disponible a través de Google Docs) y una búsqueda en Google para "binmore funciones Analíticas con Hadamard lagunas" debe hacer el truco.
