Estoy buscando una prueba del hecho de que si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es un automorfismo de grupo de $(\mathbb{R},+)$ que también preserva el orden, entonces existe un número real positivo $c$ s.t. $f(x)=cx$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Si alguien puede indicar una referencia, sería estupendo.
Respuestas
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En cualquier caso, la prueba es bastante sencilla. Obviamente $f(0)=0$ y $f(1)\gt 0$ por la propiedad de conservación del orden; digamos $f(1)=c$ . Entonces $f(n)=cn$ para todos $n\in\mathbb{N}$ ( $f(1+1+\ldots+1) = f(1)+f(1)+\ldots+f(1)$ ) y $f(q) = cq$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ (si $q={r\over s}$ entonces $sf(q) = f(sq) = f(r) = cr$ Así que $f(q) = cr/s = cq$ ). Ahora las secuencias de Cauchy te dan el resultado completo.
babubba
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No tengo ninguna referencia, pero aquí tienes un esquema de cómo lo haría yo. Puesto que podemos aproximar cualquier número real de arriba y abajo por elementos de $\mathbf Q$ y $f$ preserva el orden, podemos reducir al caso de racionales $x$ . Está claro que queremos $f(1) = c > 0$ sea nuestra constante. Ahora bien, si $b$ es un número entero positivo, entonces $$ c = f(1) = f(b/b) = bf(1/b). $$ No se necesita mucho trabajo para llegar de esto a una prueba de que $f(x) = cx$ para cada $x \in \mathbf{Q}$ .
