Para cada entero, varias de es de la forma $99 \ldots 900 \ldots 00$

Question

El objetivo es demostrar que para cada entero positivo $ z$ existe un entero positivo $a$ tal que $az = 99 \ldots 9900 \ldots 00$.

Deje $a = \frac {99 \ldots 9900 \ldots 00}{z}$

Que no se ve bien. ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Considerar el número $u_n=99\cdots9$ donde $u_n$ $n$ nueves.

Paso 1: no todos son diferentes mod $a$.

Paso 2: si $u_n$ $u_m$ está de acuerdo mod $a$,$n>m$, $u_n-u_m$ es tu solución.

Answer 2

Supongamos que tenemos un número $k$, digamos que ha $k_0$ ceros finales y $k_d$ dígitos que no son ceros finales. El truco es multiplicar $k$ $2$ hasta el número formado por las $k_d$ sin-ceros finales es impar y no termina en $5$. tenga en cuenta que el número formado por $k_d$(nos reffer como $K_d$) es relativamente primer a $10$. Por lo tanto, no es una potencia de $10$, lo que es congruente con 1 mod $K_d$. Así que tenemos una solución a $10^n-1\equiv0 \bmod K^d$. Entonces es posible multiplicar $k$ $2$ varias veces hasta que $K_d$ termina con un número impar de que no es $5$. Y una vez que esto sucede podemos hacer $K_d$ de la forma $999\dots999$ y una vez que nos ocurre se realiza porque los ceros finales permanecerá sin cambios. .