Límite de la integral/expectativa

Question

Deje $\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n$ ser una muestra independiente de Exp($1$) variables aleatorias con densidad conjunta, $f(x_1,\ldots,x_n) = e^{-(x_1+\cdots+x_n)}$. Si $g$ es un almacén de función continua, calcular el siguiente límite,

$$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^n_+}g \left( \frac{x_1+ \cdots +x_n}{n} \right)f(x_1,\ldots,x_n) \, dx_1\cdots dx_n $$

donde $\mathbb{R}_+^n = (0,\infty)^n$. Mi suposición es que va a converger a $g(1)$. Mi razonamiento es que podemos ver la integral como la expectativa, $\operatorname{E}[g(\bar{X}_n)]$. Por el fuerte de la ley de los grandes números y el coninuous asignación de teorema, $\bar{X}_n \xrightarrow{\text{a.s.}} 1$$g(\bar{X}_n) \xrightarrow{\text{a.s.}} g(1)$. Desde $g$ es acotado, se nos permite llevar el límite dentro de la integral,

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} \operatorname{E}[g(\bar{X}_n)] = \operatorname{E} \left[ \lim_{n\rightarrow\infty} g(\bar{X}_n) \right] = g(1) $$

Esto es muy handwavy, y probablemente no sea cierto, aunque. Puede que alguien me guíe en la dirección correcta?

Answer 1

Como Shalop mencionado, esta no es la mano ondulado ya que se comprueba que usted puede utilizar el teorema de convergencia dominada en el probabilístico de configuración. La secuencia de $\left(g\left(\overline{X_n}\right)\right)_{n\geqslant 1}$ está delimitado por $\sup_{x\in\mathbb R}\left\lvert g(x)\right\rvert$ y converge casi seguramente a $g(1)$.